Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140.
а) Существуют ли двадцать последовательных четырёхзначных чисел, среди которых есть три очень счастливых?
б) Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2016?
в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.
а) Примером таких чисел являются 5014, 5015, …, 5033. Очень счастливыми среди них являются числа 5014, 5023 и 5032.
б) Предположим, что это возможно. Пусть 
— десятичная запись меньшего из этих двух очень счастливых чисел, а 
—
Также из условия следует, что либо 1000a + 100b + 2000 = 1000k + 100l, либо 1000a + 100b + 2100 = 1000k + 100l.
Отсюда получаем, что либо (k + l) − (a + b) = 9(a − k + 2) + 2, либо (k + l) − (a + b) = 9(a − k + 2) + 3. Значит, число (k + l) − (a + b) даёт при делении на 9 или остаток 2, или остаток 3. Приходим к противоречию, поскольку по условию (k + l) − (a + b) = (m + n) − (c + d).
в) Покажем, что искомое число равно 11. Для этого сначала приведём примеры очень счастливых четырёхзначных чисел, кратных 2, 3, 5 и 7: число 2680 кратно 2 и 5; число 1890 кратно 3 и 7.
Пусть — десятичная запись какого-либо очень счастливого числа, кратного 11. Тогда
Получаем, что число b − a + d − c кратно 11. Поскольку a , b, c и d — цифры, отсюда следует, что либо b − a + d − c = 0, либо b − a + d − c = 11, либо b − a + d − c = −11.
В первом случае имеем a + b = c + d и a + c = b + d. Вычитая эти равенства, получаем b − c = c − b,
Ответ: а) да, например 5014, 5015, …, 5033; б) нет; в) 11.