СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



О ПОЛОМКЕ И ВОССТАНОВЛЕННОЙ КОПИИ РЕШУ ЕГЭ

Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 512404

Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140.

а) Существуют ли двадцать последовательных четырёхзначных чисел, среди которых есть три очень счастливых?

б) Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2016?

в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.

Решение.

а) Примером таких чисел являются 5014, 5015, …, 5033. Очень счастливыми среди них являются числа 5014, 5023 и 5032.

б) Предположим, что это возможно. Пусть — десятичная запись меньшего из этих двух очень счастливых чисел, а — десятичная запись большего из них. Из условия следует, что либо 10с + d + 16 = 10m + n, либо 10c + d + 16 = 100 + 10m + n. Отсюда получаем, что либо (m + n) − (c + d) = 9(c – m + 1) + 7, либо (m + n) − (c + d) = 9(c − m − 10) + 6. Значит, число (m + n) − (c + d) даёт при делении на 9 или остаток 7, или остаток 6.

Также из условия следует, что либо 1000a + 100b + 2000 = 1000k + 100l, либо 1000a + 100b + 2100 = 1000k + 100l.

Отсюда получаем, что либо (k + l) − (a + b) = 9(a − k + 2) + 2 , либо (k + l) − (a + b) = 9(a − k + 2) + 3. Значит, число (k + l) − (a + b) даёт при делении на 9 или остаток 2, или остаток 3. Приходим к противоречию, так как по условию (k + l) − (a + b) = (m + n) − (c + d).

в) Покажем, что искомое число равно 11. Для этого сначала приведём примеры очень счастливых четырёхзначных чисел кратных 2, 3, 5 и 7: число 2680 кратно 2 и 5; число 1890 кратно 3 и 7.

Пусть — десятичная запись какого-либо очень счастливого числа, кратного 11. Тогда

Получаем, что число b − a + d − c кратно 11. Поскольку a , b, c и d — цифры, отсюда следует, что либо b − a + d − c = 0, либо b − a + d − c = 11, либо b − a + d − c = −11.

В первом случае имеем a + b = c + d и a + c = b + d. Вычитая эти равенства, получаем b − c = c − b, т. е. b = c, — противоречие. Во втором случае имеем a + b = c + d и a + c + 11 = b + d. Вычитая эти равенства, получаем b − c − 11 = c − b, т. е. 2(b − c) = 11, — тоже противоречие, так как 11 не кратно 2. Аналогичное противоречие получается и в третьем случае. Значит, не существует очень счастливых четырёхзначных чисел, кратных 11.

 

Ответ: а) Да, например, 5014, 5015, …, 5033; б) нет; в) 11.


Аналоги к заданию № 512404: 516406 516386 530830 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства, Числа и их свойства