Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 505503

а) Можно ли число 2014 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б) Можно ли число 199 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

Решение.

а) Например числа 2006 и 8 имеют одинаковую сумму цифр и в сумме дают 2014.

б) Предположим, что число 199 можно представить в виде суммы двух натуральных чисел с одинаковой суммой цифр. Пусть одно из этих чисел состоит из a сотен, b десятков и c единиц. Тогда другое число состоит из 1 − a сотен, 9 − b десятков и 9 − c единиц. Суммы цифр этих чисел равны a + b + c и 19 − a − b − c соответственно. Они имеют разную чётность и не могут быть одинаковыми.

в) Наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой фиксированной суммой цифр, равно сумме пяти наименьших чисел с этой суммой цифр.

Для сумм 1, 2, 3 и 4 имеем соответственно:

1 плюс 10 плюс 100 плюс 1000 плюс 10000=11111,

2 плюс 11 плюс 20 плюс 101 плюс 110=244,

3 плюс 12 плюс 21 плюс 30 плюс 102=168,

4 плюс 13 плюс 22 плюс 31 плюс 40=110.

Если сумма цифр равна 5 или больше, обозначим её через a. Тогда наименьшее из таких чисел − как минимум a. Числа с одинаковой суммой цифр дают одинаковые остатки при делении на 9, поэтому идут минимум через 9. Значит, их сумма не меньше чем

a плюс (a плюс 9) плюс (a плюс 18) плюс (a плюс 27) плюс (a плюс 36)=5a плюс 90\ge115.

Получаем, что искомое число равно 110.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 110.


Аналоги к заданию № 505503: 511410 Все

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2014
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства