а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Внут­ри ци­лин­дра рас­по­ло­жен куб ABCDA₁B₁C₁D₁ так, что все его вер­ши­ны лежат на по­верх­но­сти ци­лин­дра, причём вер­ши­ны B и D₁ сов­па­да­ют с цен­тра­ми ос­но­ва­ний, а осталь­ные вер­ши­ны лежат на бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость AB₁C па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям ци­лин­дра.

б)  Най­ди­те объём ци­лин­дра, если ребро куба равно 3.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ин­ди­ви­ду­аль­но­му пред­при­ни­ма­те­лю 15 марта был выдан кре­дит на при­об­ре­те­ние обо­ру­до­ва­ния. В таб­ли­це ука­зан гра­фик его по­га­ше­ния. Те­ку­щий долг ука­зы­ва­ет­ся в про­цен­тах:

В конце каж­до­го ме­ся­ца, на­чи­ная с марта, банк уве­ли­чи­ва­ет те­ку­щий долг на 5%. После этого в пер­вой по­ло­ви­не по­сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца за­ем­щик обя­зан вне­сти в банк такую сумму, чтобы остав­ший­ся долг стал рав­ным ука­зан­но­му в таб­ли­це те­ку­ще­му долгу на 15 число этого ме­ся­ца. На сколь­ко про­цен­тов общая сумма вы­плат при таких усло­ви­ях боль­ше суммы са­мо­го кре­ди­та?

В тре­уголь­ни­ке ABC, пло­щадь ко­то­ро­го равна 6, на ме­ди­а­нах AK, BL и CN взяты со­от­вет­ствен­но точки P, Q и R так, что AP  =  PK, а M  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка PQR.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет более двух кор­ней.

На­ту­раль­ные числа m и n будем на­зы­вать дру­же­ствен­ны­ми, если Со­ста­вим сле­ду­ю­щую по­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел :   — ко­ли­че­ство чисел, дру­же­ствен­ных с n и не пре­вос­хо­дя­щих n.

а)  Чему равно ?

б)  Най­ди­те все на­ту­раль­ные числа n, для ко­то­рых

в)  Най­ди­те все на­ту­раль­ные числа n, для ко­то­рых, для ко­то­рых дру­же­ствен­ны­ми чис­ла­ми яв­ля­ют­ся все де­ли­те­ли d > 1 и толь­ко они.