Про число А известно, что оно не является 2020‐й степенью натурального числа и имеет ровно 2020 различных делителей, включая его самого и единицу.
а) Может ли А быть кубом целого числа?
б) Может ли А быть четвертой степенью целого числа?
в) Найдите наименьшее значение А.
Напомним, что если число раскладывается на произведение степеней простых сомножителей как 
то количество его делителей равно 
Отметим, что 
а) Возьмем полный куб 
Это число имеет 
делителей.
б) Если бы число было полной четвертой степенью, то все числа 
были бы кратны 4, а потому 
было бы произведением нечетных чисел и, следовательно, нечетным числом. Но 2020 четно.
в) Число 
подходит. Докажем, что это наименьшее подходящее число. Очевидно, если поменять местами два простых основания степени в разложении числа, то меньше будет тот вариант, где меньшее простое возводится в бОльшую степень. Затем заменим меньшее простое на 2, следующее — на 3 и так далее.
Если использовать в качестве степени двойки число, большее 100 (но такое, чтобы 2020 делилось на 
), то число будет равно как минимум
С другой стороны, минимум одно из чисел вида в формуле для чиcла делителей должно быть кратно 101, и оно явно будет самым большим из множителей. Значит, в состав числа обязательно следует взять 
Тогда остальные множители должны давать выражение, равное 20. Возможны следующие варианты: 
Последнее число меньше прочих:
Ответ: а) да; б) нет; в) 
Примечание.
Условие о том, что число не является 2020 степенью, не пригодилось. Если бы число А было можно было представить в виде 
оно имело бы минимум 2021 делитель (
) или было бы равно 1.