а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Плос­кость α про­хо­дит через се­ре­ди­ны двух про­ти­во­по­лож­ных ребер тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды и па­рал­лель­на ме­ди­а­не одной из ее гра­ней.

а)  До­ка­жи­те, что среди ме­ди­ан гра­ней этой пи­ра­ми­ды в точ­но­сти две яв­ля­ют­ся па­рал­лель­ны­ми к плос­ко­сти α.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния дан­ной пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α, если эти ме­ди­а­ны пер­пен­ди­ку­ляр­ны друг другу и равны 2.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В тре­уголь­ни­ке ABC на сто­ро­нах AB и BC за­да­ны со­от­вет­ствен­но точки M и N такие, что AM  =  MB, BN : NC  =  1 : 2. От­рез­ки CM и AN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние от точки O до пря­мой AC равно где BH вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC.

б)   Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки O до пря­мой AC, если ∠BAC  =  30°, ∠BCA  =  45°, AC  =  8.

В июле 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на пять лет в раз­ме­ре S тыс.руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 30% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

  — в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг оста­ет­ся рав­ным S тыс. руб­лей;

  — вы­пла­ты в 2030 и 2031 годах равны по 338 тыс.руб­лей;

  — к июлю 2031 года долг будет вы­пла­чен пол­но­стью.

Най­ди­те общую сумму вы­плат за пять лет.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при ко­то­рых урав­не­ния и рав­но­силь­ны.

В шко­лах № 1 и № 2 уча­щи­е­ся пи­са­ли тест. Из каж­дой школы тест пи­са­ли не мень­ше двух уча­щих­ся. Каж­дый уча­щий­ся, пи­сав­ший тест, на­брал на­ту­раль­ное ко­ли­че­ство бал­лов. Ока­за­лось, что в каж­дой школе сред­ний балл за тест был целым чис­лом, при­чем в школе № 1 сред­ний балл рав­нял­ся 18. Один из уча­щих­ся, пи­сав­ших тест, пе­ре­шел из школы № 1 в школу № 2, а сред­ние баллы за тест были пе­ре­счи­та­ны в обеих шко­лах. В ре­зуль­та­те сред­ний балл в школе № 1 вырос на 10%.

а)  Сколь­ко уча­щих­ся могло пи­сать тест в школе № 1 из­на­чаль­но?

б)  В школе № 1 все пи­сав­шие тест на­бра­ли раз­ное ко­ли­че­ство бал­лов. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство бал­лов мог на­брать уча­щий­ся этой школы?

в)  Из­вест­но, что из­на­чаль­но в школе № 2 пи­са­ли тест более 10 уча­щих­ся и после пе­ре­хо­да од­но­го уча­ще­го­ся в эту школу и пе­ре­сче­та бал­лов сред­ний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство уча­щих­ся могло пи­сать тест в школе № 2 из­на­чаль­но?