Дано натуральное число. На каждом ходе из него либо вычитают утроенную сумму цифр, либо прибавляют утроенную сумму цифр, так, что полученное число остается натуральным.
а) Могло ли из числа 65 получиться число 41?
б) Могло ли из числа 65 получиться число 43?
в) Какое наименьшее двузначное число можно получить из 65?
a) Да, могло. Выполним следующую последовательность шагов: 65 → 32 → 17 → 41:
б) Нет, не могло. При прибавлении к числу или вычитании из числа утроенной суммы его цифр остаток от деления на 3 не изменяется. При делении на 3 числа
в) Наименьшим двузначным числом, которое дает такой же остаток при делении на 3, что и число 65, является число 11. Покажем, как можно получить 11 из числа 65:
65 → 98 → 149 → 107 → 83 → 50 → 35 → 11.
Ответ: а) да; б) нет; в) 11.