а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Опре­де­ли­те, какие из его кор­ней при­над­ле­жат от­рез­ку

В ци­лин­дре об­ра­зу­ю­щая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния. На окруж­но­сти од­но­го из ос­но­ва­ний ци­лин­дра вы­бра­ны точки А и В, а на окруж­но­сти дру­го­го ос­но­ва­ния  — точки В₁ и С₁, при­чем ВВ₁  — об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра, а от­ре­зок АС₁ пе­ре­се­ка­ет ось ци­лин­дра.

а)  До­ка­жи­те, что угол АВС₁ пря­мой.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до пря­мой AC₁, если AB  =  15, BB₁  =  16, B₁C₁  =  12.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Окруж­ность с цен­тром в точке O вы­се­ка­ет на всех сто­ро­нах тра­пе­ции ABCD рав­ные хорды.

а)  До­ка­жи­те, что бис­сек­три­сы всех углов тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся в одной и той же точке.

б)  Най­ди­те вы­со­ту тра­пе­ции, если окруж­ность пе­ре­се­ка­ет бо­ко­вую сто­ро­ну AB в точ­ках K и L так, что AK  =  11, KL  =  10, LB  =  4.

15-го де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 26 ме­ся­цев. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 3% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-го по 25-й долг дол­жен быть на 20 тысяч руб­лей мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — к 15-му числу 26-го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какой долг будет 15-го числа 25-го ме­ся­ца, если общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та со­ста­вит 1407 тысяч руб­лей?

Найти все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно че­ты­ре раз­лич­ных ре­ше­ния.

В шко­лах № 1 и № 2 уча­щи­е­ся пи­са­ли тест. Из каж­дой школы тест пи­са­ли по край­ней мере два уча­щих­ся, а сум­мар­но тест пи­са­ли 50 уча­щих­ся. Каж­дый уча­щий­ся, пи­сав­ший тест, на­брал на­ту­раль­ное ко­ли­че­ство бал­лов. Ока­за­лось, что в каж­дой школе сред­ний балл был целым чис­лом. После этого, один из уча­щих­ся, пи­сав­ших тест, пе­ре­шел из школы № 1 в школу № 2, а сред­ние баллы за тест были пе­ре­счи­та­ны в обеих шко­лах.

а)  Мог ли сред­ний балл в школе № 1 умень­шить­ся в 2 раза?

б)  Сред­ний балл в школе № 1 умень­шил­ся на 2%, сред­ний балл в школе № 2 также умень­шил­ся на 2%. Мог ли пер­во­на­чаль­ный сред­ний балл в школе № 2 рав­нять­ся 9?

в)  Сред­ний балл в школе № 1 умень­шил­ся на 2%, сред­ний балл в школе № 2 также умень­шил­ся на 2%. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние пер­во­на­чаль­но­го сред­не­го балла в школе № 2.