а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те его корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF сто­ро­на ос­но­ва­ния AB  =  7, а бо­ко­вое ребро SA  =  10. Точка  M лежит на ребре BC, при­чем BM  =  4, точка K лежит на ребре SC, при­чем SK  =  7.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость MKD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды CDKM.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­ли вы­со­ту CC₁ и ме­ди­а­ну AA₁. Ока­за­лось, что точки A, A₁, C, C₁ лежат на одной окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если AA₁ : CC₁  =  4 : 3 и A₁C₁  =  6.

В июле 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 400 000 руб­лей. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на r % по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга.

Най­ди­те r, если из­вест­но, что кре­дит будет пол­но­стью по­га­шен за два года, причём в пер­вый год будет вы­пла­че­но 330 000 руб­лей, а вто­рой год  —  121 000 руб­лей.

Най­ди­те все по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых си­сте­ма

имеет ровно 3 ре­ше­ния.

В на­бо­ре 70 гирек мас­сой 1, 2, ..., 70 грам­мов. Их раз­ло­жи­ли на две кучки так, что в каж­дой кучке есть хотя бы одна гирь­ка. Потом из вто­рой кучки пе­ре­ло­жи­ли одну гирь­ку в первую кучку. В ре­зуль­та­те сред­няя масса гирек в пер­вой кучке уве­ли­чи­лась ровно на один грамм.

а)  Могла ли пер­вая кучка (до пе­ре­кла­ды­ва­ния) со­сто­ять из гирек с ве­са­ми 11 г, 15 г, 19 г?

б)  Мог ли сред­ний вес гирек в пер­вой кучке до пе­ре­кла­ды­ва­ния рав­нять­ся 9,5 грам­ма?

в)  Какое мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство гирек могло быть пер­во­на­чаль­но в пер­вой кучке?