СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 517451

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6.

б) Может ли ровно одно число на доске оканчивается на 6?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?

Ре­ше­ние.

а) Если на доске на­пи­са­но по 15 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2 и на 6, то их сумма окан­чи­ва­ет­ся на 0. Это про­ти­во­ре­чит тому, что сумма 2454.

б) Пусть на доске ровно одно число, окан­чи­ва­ю­ще­е­ся на 6. Тогда на доске на­пи­са­но 29 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2. Их сумма не мень­ше, чем сумма 29 на­пи­сан­ных чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2: Это про­ти­во­ре­чит тому, что сумма равна 2454.

в) Пусть на доске n чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 6 и 30 − n, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2. Тогда сумма чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2, не мень­ше суммы

Сумма чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 6, не мень­ше суммы

Таким об­ра­зом, от­ку­да так как

Если на доске 10 чисел, окан­чи­ва­ю­ща­я­ся на 6, и 20 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2, то их сумма окан­чи­ва­ет­ся на 0. Зна­чит, чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 6, боль­ше 10. При­ведём при­мер 11 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 6, и 19 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2, с сум­мой 2454: 6, 16, ..., 86, 96, 196, 2, 12, ..., 172, 182.

 

Ответ: а) нет; б) нет; в) 11.


Аналоги к заданию № 517451: 517437 517444 517458 521010 Все

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Ос­нов­ная волна 02.06.2017. Вариант 301 (C часть).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства, Числа и их свойства