а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C. Точка M  — се­ре­ди­на ребра B₁C₁, точка N лежит на ребре AC, при­чем AN : NC  =  15 : 1. Катет AC в че­ты­ре раза боль­ше бо­ко­во­го ребра AA₁ приз­мы.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой CA₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми MN и CA₁, если AC  =  16,

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке A, через ко­то­рую про­ве­де­на их общая ка­са­тель­ная, на ко­то­рой от­ме­че­на точка B. Через точку B про­ве­де­ны две пря­мые: одна пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точ­ках K и L (точка K на­хо­дит­ся между B и L), а дру­гая  — вто­рую окруж­ность в точ­ках M и N (точка M на­хо­дит­ся между B и N). Пря­мые KN и LM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что точки K, L, M, N лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков KLP и MNP, если BL  =  9, BM  =  5, AB  =  6.

В таб­ли­це по­ка­за­но ко­ли­че­ство би­ле­тов и воз­мож­ные вы­иг­ры­ши бес­про­иг­рыш­ной де­неж­ной ло­те­реи. Цена би­ле­та ло­те­реи равна 110 руб­лей. Всего би­ле­тов вы­пу­ще­но 1000 штук. Участ­ник по­ку­па­ет один слу­чай­ный билет. На сколь­ко руб­лей цена би­ле­та выше, чем ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние вы­иг­ры­ша?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень.

Име­ют­ся зе­ле­ные и жел­тые кар­точ­ки, всего их 80 штук. На каж­дой кар­точ­ке на­пи­са­но на­ту­раль­ное число, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел равно 31. Все числа на жел­тых кар­точ­ках раз­ные. При этом любое число на жел­той кар­точ­ке боль­ше лю­бо­го числа на зелёной кар­точ­ке. Числа на жел­тых кар­точ­ках уве­ли­чи­ли в 3 раза, после этого сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел стало равно 88.

а)  Может ли быть ровно 50 жел­тых кар­то­чек?

б)  Может ли быть ровно 15 зе­ле­ных кар­то­чек?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство жел­тых кар­то­чек может быть?