Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 505570

За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью ─ 0,5 очка, за проигрыш ─ 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причём каждый играет с каждым дважды.

а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если m = 3, d = 2?

б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m + d = 10.

в) Каковы все возможные значения d, если m = 7d и известно, что в сумме мальчики набрали ровно в 3 раза больше очков, чем девочки?

Спрятать решение

Решение.

а) Каждая из двух девочек могла выиграть оба раза у всех троих мальчиков, получив в сумме 6 очков. Сыграв две партии друг с другом, девочки распределили между собой ещё 2 очка. Всего 6 плюс 6 плюс 2=14 очков.

б) Играя по две партии каждый с каждым, десять детей играют всего 2 умножить на дробь: числитель: 9 умножить на 10, знаменатель: 2 конец дроби =90 партий. В каждой партии вне зависимости от её исхода разыгрывается одно очко. Поэтому всего набрано 90 очков.

в) Всего детей было 7d плюс d=8d, играя по две партии каждый с каждым они сыграли между собой 2 умножить на дробь: числитель: 8d левая круглая скобка 8d минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =8d левая круглая скобка 8d минус 1 правая круглая скобка партий и разыграли 8d левая круглая скобка 8d минус 1 правая круглая скобка очков. Из них у мальчиков три четверти очков, а у девочек — одна четверть, то есть у девочек2d левая круглая скобка 8d минус 1 правая круглая скобка =16d в квадрате минус 2d очков. Заметим, что если каждая девочка выиграла у всех мальчиков, то вместе девочки набрали максимум 2 умножить на d умножить на 7d очков, а играя между собой, девочки распределили 2 умножить на дробь: числитель: d левая круглая скобка d минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =d левая круглая скобка d минус 1 правая круглая скобка очков. Поэтому наибольшее количество очков, которое могли набрать девочки, равно 14d в квадрате плюс d левая круглая скобка d минус 1 правая круглая скобка . Тем самым, имеем: 16d в квадрате минус 2d меньше или равно 15d в квадрате минус d равносильно d в квадрате меньше или равно d. Следовательно, девочек не могло быть больше одной.

Если девочка была одна, то мальчиков было семеро. Они сыграли 56 партий и разыграли 56 очков. Девочка набрала 14 очков, выиграв у каждого из мальчиков по две партии. Играя между собой, мальчики разыграли оставшиеся 42 очка.

 

Ответ: а) 14; б) 90; в) 1.

 

Приведём похожее решение.

а) Всего девочки играют 2 партии между собой и 12 партий против мальчиков (по 6 каждая). Поэтому максимальное суммарное число очков, которые они могут набрать, равно 2+12=14.

б) Если участников всего 10, то каждый играет с 9-ю другими участниками по два раза, значит, всего происходит 18 туров по 5 партий в каждом. В 90 партиях разыгрывается 90 очков, поэтому ответ 90.

в) Пусть девочек d, а мальчиков 7d. В партиях между собой девочки набрали d левая круглая скобка d минус 1 правая круглая скобка очков, а мальчики в партиях между собой набрали 7d левая круглая скобка 7d минус 1 правая круглая скобка очков. Всего состоялось 8d левая круглая скобка 8d минус 1 правая круглая скобка партий. Значит, партий между мальчиками и девочками состоялось  8d левая круглая скобка 8d минус 1 правая круглая скобка минус 7d левая круглая скобка 7d минус 1 правая круглая скобка минус d левая круглая скобка d минус 1 правая круглая скобка =14d в квадрате . Пусть девочки набрали в них x очков. Тогда получаем уравнение: 3 левая круглая скобка d левая круглая скобка d минус 1 правая круглая скобка плюс x правая круглая скобка =14d в квадрате минус x плюс 7d левая круглая скобка 7d минус 1 правая круглая скобка , откуда 3d в квадрате минус 3d плюс 3x=14d в квадрате минус x плюс 49d в квадрате минус 7d или x=15d в квадрате минус d. Ясно, что x \leqslant14d в квадрате , отсюда d в квадрате меньше или равно d, то есть d=0 или 1. Понятно, что 0 — посторонний корень. Если девочка была одна, то мальчиков было 7, в случае, когда девочка выиграла у всех мальчиков по два раза, она набрала 14 очков. При этом мальчики сыграли между собой 42 партии и набрали 42 очка, например, сыграли все эти партии вничью или любым другим образом.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение п. а;

— обоснованное решение п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 505570: 508112 507244 Все

Источник: РЕШУ ЕГЭ — Предэкзаменационная работа 2014 по математике.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства