СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 505570

За по­бе­ду в шах­мат­ной пар­тии на­чис­ля­ют 1 очко, за ничью ─ 0,5 очка, за про­иг­рыш ─ 0 очков. В тур­ни­ре при­ни­ма­ют уча­стие m маль­чи­ков и d де­во­чек, причём каж­дый иг­ра­ет с каж­дым два­жды.

а) Ка­ко­во наи­боль­шее ко­ли­че­ство очков, ко­то­рое в сумме могли на­брать де­воч­ки, если m = 3, d = 2?

б) Ка­ко­ва сумма на­бран­ных всеми участ­ни­ка­ми очков, если m + d = 10.

в) Ка­ко­вы все воз­мож­ные зна­че­ния d, если m = 7d и из­вест­но, что в сумме маль­чи­ки на­бра­ли ровно в 3 раза боль­ше очков, чем де­воч­ки?

Ре­ше­ние.

а) Каж­дая из двух де­во­чек могла вы­иг­рать оба раза у всех троих маль­чи­ков, по­лу­чив в сумме 6 очков. Сыг­рав две пар­тии друг с дру­гом, де­воч­ки рас­пре­де­ли­ли между собой ещё 2 очка. Всего очков.

б) Играя по две пар­тии каж­дый с каж­дым, де­сять детей иг­ра­ют всего пар­тий. В каж­дой пар­тии вне за­ви­си­мо­сти от её ис­хо­да разыг­ры­ва­ет­ся одно очко. По­это­му всего на­бра­но 90 очков.

в) Всего детей было играя по две пар­тии каж­дый с каж­дым они сыг­ра­ли между собой пар­тий и разыг­ра­ли очков. Из них у маль­чи­ков три чет­вер­ти очков, а у де­во­чек — одна чет­верть, то есть у де­во­чек очков. За­ме­тим, что если каж­дая де­воч­ка вы­иг­ра­ла у всех маль­чи­ков, то вме­сте де­воч­ки на­бра­ли мак­си­мум очков, а играя между собой, де­воч­ки рас­пре­де­ли­ли очков. По­это­му наи­боль­шее ко­ли­че­ство очков, ко­то­рое могли на­брать де­воч­ки, равно Тем самым, имеем: Сле­до­ва­тель­но, де­во­чек не могло быть боль­ше одной.

Если де­воч­ка была одна, то маль­чи­ков было се­ме­ро. Они сыг­ра­ли 56 пар­тий и разыг­ра­ли 56 очков. Де­воч­ка на­бра­ла 14 очков, вы­иг­рав у каж­до­го из маль­чи­ков по две пар­тии. Играя между собой, маль­чи­ки разыг­ра­ли остав­ши­е­ся 42 очка.

 

Ответ: а) 14; б) 90; в) 1.

 

При­ведём по­хо­жее ре­ше­ние.

а) Всего де­воч­ки иг­ра­ют 2 пар­тии между собой и 12 пар­тий про­тив маль­чи­ков (по 6 каж­дая). По­это­му мак­си­маль­ное сум­мар­ное число очков, ко­то­рые они могут на­брать, равно 2+12=14.

б) Если участ­ни­ков всего 10, то каж­дый иг­ра­ет с 9-ю дру­ги­ми участ­ни­ка­ми по два раза, зна­чит, всего про­ис­хо­дит 18 туров по 5 пар­тий в каж­дом. В 90 пар­ти­ях разыг­ры­ва­ет­ся 90 очков, по­это­му ответ 90.

в) Пусть де­во­чек , а маль­чи­ков В пар­ти­ях между собой де­воч­ки на­бра­ли очков, а маль­чи­ки в пар­ти­ях между собой на­бра­ли очков. Всего со­сто­я­лось пар­тий. Зна­чит, пар­тий между маль­чи­ка­ми и де­воч­ка­ми со­сто­я­лось Пусть де­воч­ки на­бра­ли в них x очков. Тогда по­лу­ча­ем урав­не­ние: , от­ку­да или Ясно, что , от­сю­да , то есть или По­нят­но, что 0 — по­сто­рон­ний ко­рень. Если де­воч­ка была одна, то маль­чи­ков было 7, в слу­чае, когда де­воч­ка вы­иг­ра­ла у всех маль­чи­ков по два раза, она на­бра­ла 14 очков. При этом маль­чи­ки сыг­ра­ли между собой 42 пар­тии и на­бра­ли 42 очка, на­при­мер, сыг­ра­ли все эти пар­тии вни­чью или любым дру­гим об­ра­зом.


Аналоги к заданию № 505570: 508112 507244 Все

Источник: РЕШУ ЕГЭ — Пред­эк­за­ме­на­ци­он­ная ра­бо­та 2014 по математике.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства, Числа и их свойства