Возрастающие арифметические прогрессии a1, a2, ..., an, ... и b1, b2, ..., bn, ... состоят из натуральных чисел.
а) Существуют ли такие прогрессии, для которых 
и 
— различные натуральные числа?
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых 
и — различные натуральные числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать дробь 
если известно, что и 
— различные натуральные числа?
а) Подходящим примером являются прогрессии 1, 6, 11, 16, ... и 1, 2, 3, 4, ... соответственно. Для этих прогрессий имеем: 
и 
б) Предположим, что такие прогрессии существуют. Тогда одно из чисел 
или 
не меньше 1, а второе больше 1. Значит, либо 
и 
либо 
и 
и, следовательно, 
Отсюда, используя свойства арифметической прогрессии, получаем
и 
Пришли к противоречию.
в) Обозначим через c и d разности арифметических прогрессий a1, a2, ..., an, ... и b1, b2, ..., bn, ... соответственно. Из условия следует, что числа c и d натуральные, а 
и 
целые и не равные нулю. Имеем
и
Знаменатели дробей 
и 
положительны, а числители этих дробей имеют одинаковый знак. Значит, числа и имеют одинаковый знак, то есть либо 
либо 
В обоих случаях получаем, что 
Если прогрессии a1, a2, ..., an, ... и b1, b2, ..., bn, ... являются прогрессиями 9, 32, ..., 216, ... и 9, 16, ..., 72, ... соответственно, то 
и 
Этот пример показывает, что наименьшее возможное значение дроби 
равно 2.
Ответ: а) да, например 1, 6, 11, 16, ... и 1, 2, 3, 4, ...; б) нет; в) 2.