Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 514031

Возрастающие арифметические прогрессии a1, a2, ..., an, ... и b1, b2, ..., bn, ... состоят из натуральных чисел.

а) Существуют ли такие прогрессии, для которых  дробь, числитель — a_1, знаменатель — b_1 , дробь, числитель — a_2, знаменатель — b_2 и  дробь, числитель — a_4, знаменатель — b_4 — различные натуральные числа?

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых  дробь, числитель — a_1, знаменатель — b_1 , дробь, числитель — b_2, знаменатель — a_2 и  дробь, числитель — a_4, знаменатель — b_4 — различные натуральные числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь  дробь, числитель — a_2, знаменатель — b_2 , если известно, что  дробь, числитель — a_1, знаменатель — b_1 , дробь, числитель — a_2, знаменатель — b_2 и  дробь, числитель — a_{10}, знаменатель — b_{10 } — различные натуральные числа?

Решение.

а) Подходящим примером являются прогрессии 1, 6, 11, 16, ... и 1, 2, 3, 4, ... соответственно. Для этих прогрессий имеем:  дробь, числитель — a_1, знаменатель — b_1 =1, дробь, числитель — a_2, знаменатель — b_2 =3 и  дробь, числитель — a_4, знаменатель — b_4 =4.

б) Предположим, что такие прогрессии существуют. Тогда одно из чисел  дробь, числитель — a_1, знаменатель — b_1 или   дробь, числитель — b_2, знаменатель — a_2 не меньше 1, а второе больше 1. Значит, либо a_1 больше или равно b_1 и a_2 меньше b_2, либо a_1 больше b_1 и a_2 меньше или равно b_2, и, следовательно, a_2 минус a_1 меньше b_2 минус b_1. Отсюда, используя свойства арифметической прогрессии, получаем

a_4=a_2 плюс 2(a_2 минус a_1) меньше b_2 плюс 2(b_2 минус b_1)=b_4 и  дробь, числитель — a_4, знаменатель — b_4 меньше 1.

Пришли к противоречию.

в) Обозначим через c и d разности арифметических прогрессий a1, a2, ..., an, ... и b1, b2, ..., bn, ... соответственно. Из условия следует, что числа c и d натуральные, а  дробь, числитель — a_2, знаменатель — b_2 минус дробь, числитель — a_1, знаменатель — b_1 и  дробь, числитель — a_{10}, знаменатель — b_{10 } минус дробь, числитель — a_2, знаменатель — b_2 целые и не равные нулю. Имеем

 дробь, числитель — a_2, знаменатель — b_2 минус дробь, числитель — a_1, знаменатель — b_1 = дробь, числитель — a_1 плюс c, знаменатель — b_1 плюс d минус дробь, числитель — a_1, знаменатель — b_1 = дробь, числитель — cb_1 минус da_1, знаменатель — b_1(b_1 плюс d) и

 дробь, числитель — a_{10}, знаменатель — b_{10 } минус дробь, числитель — a_2, знаменатель — b_2 = дробь, числитель — a_1 плюс 9c, знаменатель — b_1 плюс 9d минус дробь, числитель — a_1 плюс c, знаменатель — b_1 плюс d = дробь, числитель — 8(cb_1 минус da_1), знаменатель — (b_1 плюс d)(b_1 плюс 9d)

Знаменатели дробей  дробь, числитель — cb_1 минус da_1, знаменатель — b_1(b_1 плюс d) и  дробь, числитель — 8(cb_1 минус da_1), знаменатель — (b_1 плюс d)(b_1 плюс 9d) положительны, а числители этих дробей имеют одинаковый знак. Значит, числа  дробь, числитель — a_2, знаменатель — b_2 минус дробь, числитель — a_1, знаменатель — b_1 и  дробь, числитель — a_{10}, знаменатель — b_{10 } минус дробь, числитель — a_2, знаменатель — b_2 имеют одинаковый знак, то есть либо 1 меньше или равно дробь, числитель — a_1, знаменатель — b_1 меньше дробь, числитель — a_2, знаменатель — b_2 меньше дробь, числитель — a_{10}, знаменатель — b_{10 }, либо 1 меньше или равно дробь, числитель — a_{10}, знаменатель — b_{10 } меньше дробь, числитель — a_2, знаменатель — b_2 меньше дробь, числитель — a_1, знаменатель — b_1 . В обоих случаях получаем, что  дробь, числитель — a_2, знаменатель — b_2 больше или равно 2

Если прогрессии a1, a2, ..., an, ... и b1, b2, ..., bn, ... являются прогрессиями 9, 32, ..., 216, ... и 9, 16, ..., 72, ... соответственно, то  дробь, числитель — a_1, знаменатель — b_1 =1, дробь, числитель — a_2, знаменатель — b_2 =2 и  дробь, числитель — a_{10}, знаменатель — b_{10 }=3.

Этот пример показывает, что наименьшее возможное значение дроби  дробь, числитель — a_2, знаменатель — b_2 равно 2.

 

Ответ: а) Да, например, 1, 6, 11, 16, ... и 1, 2, 3, 4, ...; б) нет; в) 2.


Аналоги к заданию № 514031: 514050 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства