СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 514031

Возрастающие арифметические прогрессии a1, a2, ..., an, ... и b1,b2, ..., bn, ... состоят из натуральных чисел.

а) Существуют ли такие прогрессии, для которых среди чисел и - различные натуральные числа?

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых среди чисел и - различные натуральные числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь , если известно, что и - различные натуральные числа?

Решение.

а) Подходящим примером являются прогрессии и соответственно. Для этих прогрессий имеем: и

б) Предположим, что такие прогрессии существуют. Тогда одно из чисел или   не меньше 1, а второе больше 1. Значит, либо и , либо и , и, следовательно, Отсюда, используя свойства арифметической прогрессии, получаем

и

Пришли к противоречию.

в)Обозначим через и разности арифметических прогрессий a1, a2, ..., an, ... и b1,b2, ..., bn, ... соответственно. Из условия следует, что числа и натуральные, а и целые и не равные нулю. Имеем

и

Знаменатели дробей и положительны, а числители этих дробей имеют одинаковый знак. Значит, числа и имеют одинаковый знак, то есть либо , либо В обоих случаях получаем, что

Если прогрессии a1, a2, ..., an, ... и b1,b2, ..., bn, ... являются прогрессиями и соответственно, то и

Этот пример показывает, что наименьшее возможное значение дроби равно 2.

 

Ответ: а) Да, например, и соответственнно б)нет; в) 2.


Аналоги к заданию № 514031: 514050 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства, Числа и их свойства