а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ци­лин­дре об­ра­зу­ю­щая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния. На окруж­но­сти од­но­го из ос­но­ва­ний ци­лин­дра вы­бра­ны точки A, B и C, а на окруж­но­сти дру­го­го ос­но­ва­ния  — точка C₁, причём CC₁  — об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра, а AC  — диа­метр ос­но­ва­ния. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми BC и AC₁ равен

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до AC₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны и C па­рал­ле­ло­грам­ма и пе­ре­се­ка­ет про­дол­же­ние сто­ро­ны AD в точке E, а про­дол­же­ние сто­ро­ны CD в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки BE и BK равны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние KE к AC, если

15-го де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 700 тысяч руб­лей на (n + 1) месяц. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 1% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  cо 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-го по n-⁠й долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  15-⁠го числа n-⁠го ме­ся­ца долг со­ста­вит 300 тысяч руб­лей;

—  к 15-⁠му числу (n + 1)-⁠го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Най­ди­те n, если из­вест­но, что общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та со­ста­вит 755 тысяч руб­лей.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно че­ты­ре раз­лич­ных ре­ше­ния.

На доске на­пи­са­но 10 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское шести наи­мень­ших из них равно 5, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское шести наи­боль­ших равно 15.

а)  Может ли наи­мень­шее из этих чисел рав­нять­ся 3?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел рав­нять­ся 11?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го всех чисел.