СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 513630

Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.

а) Является ли множество {200; 201; 202; ...; 299} хорошим?

б) Является ли множество {2; 4; 8; ...; 2100} хорошим?

в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}?

Решение.

а) Разобьём множество {200, 201, 202, ..., 299} на два множества пятидесятиэлементных множества следующим образом:

{200, 299, 202, 297, 204, 295, ..., 248, 251},

{201; 298; 203; 296; 205, 294, ..., 249, 250}.

Сумма чисел в этих двух подмножествах одинакова, поэтому исходное множество является хорошим. (Возможны и другие примеры.)

 

б) Заметим, сумма чисел в подмножестве, которое будет содержать число будет больше суммы чисел в другом подмножестве, поскольку больше суммы всех остальных чисел:

Следовательно, множество {2; 4; 8; ...; 2100} не является хорошим.

 

в) Заметим, что четырёхэлементное множество является хорошим в двух случаях: либо одно число является суммой трёх других, либо множество содержит две пары чисел с равными суммами.

Подмножества множества {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}, удовлетворяющие первому случаю, — это {1; 2; 4; 7} и {2; 4; 5; 11}.

Рассмотрим второй случай и заметим, что если множество содержит две пары чисел с равными суммами, то сумма всех чисел чётна. Следовательно, четные числа 2 и 4 либо одновременно входят в хорошее четырёхэлементное подмножество, либо одновременно не входят в него.

Если 2 и 4 входят в подмножество, то либо сумма двух других чисел равна 6, это подмножество {1; 2; 4; 5}, либо разность двух других чисел равна 2, это подмножества:

{1; 2; 4; 5}; {2; 4; 5; 7}; {2; 4; 7; 9}; {2; 4; 9; 11}.

Если 2 и 4 не входят в подмножество, то хорошее подмножество лежит во множестве {1; 5; 7; 9; 11}. Получаем хорошие подмножества:

{1; 5; 7; 11} и {5; 7; 9; 11}.

Всего найдено 8 хороших подмножеств. Других вариантов нет.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 8.


Аналоги к заданию № 513611: 513630 516515 Все

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 28.03.2016. До­сроч­ная волна, ва­ри­ант 2 (только часть С)
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства, Числа и их свойства