а)  Если это число 1, то оно квад­рат, но оно за­пре­ще­но по усло­вию. Кроме него таких чисел нет. В самом деле, 10 не квад­рат, а любое дру­гое число кон­ча­ет­ся либо на 101, либо на 010, по­это­му при де­ле­нии на 8 дает оста­ток 5 или 2. (На­пом­ним, что число де­лит­ся на 8 тогда и толь­ко тогда, когда число, об­ра­зо­ван­ное тремя его по­след­ни­ми циф­ра­ми де­лит­ся на 8).

Од­на­ко квад­ра­ты чисел при де­ле­нии на 8 дает в остат­ке лишь 0, 1, 4. До­ка­жем это, рас­смот­рев квад­ра­ты чисел, да­ю­щих раз­лич­ные остат­ки от де­ле­ния на 4 (см.  табл.)

x	x2	Оста­ток от де­ле­ния на 8
		0
		1
		4
		1

По­лу­чен­ное про­ти­во­ре­чие до­ка­зы­ва­ет тре­бу­е­мое.

б)  Числа, за­кан­чи­ва­ю­щи­е­ся нулем, чет­ные, а по­то­му со­став­ные. Про­сты­ми могут быть толь­ко числа, за­кан­чи­ва­ю­щи­е­ся на еди­ни­цу, то есть числа

Число 101    — про­стое. Если умно­жить любое из остав­ших­ся чисел на 11, по­лу­чим число, за­пи­сы­ва­ю­ще­е­ся чет­ным чис­лом еди­ниц и рас­кла­ды­ва­ю­ще­е­ся мно­жи­те­ли вида (В пер­вом мно­жи­те­ле вдвое мень­ше еди­ниц, чем в самом по­лу­чен­ном числе. На­при­мер, из числа 1 010 101 умно­же­ни­ем на 11 по­лу­ча­ем 11 111 111  =  1111 · 10 001.) Оба мно­жи­те­ля боль­ше 11, по­это­му после де­ле­ния од­но­го из них на 11, остав­ши­е­ся мно­жи­те­ли все еще будут боль­ше еди­ни­цы, и число будет со­став­ным.

в)  За­ме­тим, что 10101 крат­но 13. По­это­му при де­ле­нии числа на 13 в стол­бик от него будут от­ре­зать­ся пер­вые 6 цифр и даль­ше нужно будет де­лить число та­ко­го же вида, в ко­то­ром на три еди­ни­цы мень­ше. Зна­чит, оста­ет­ся про­ве­рить толь­ко числа с одной, двумя и тремя еди­ни­ца­ми. Лишь по­след­нее крат­но 13. По­это­му ко­ли­че­ство еди­ниц долж­но быть крат­но трем.

Ответ: а)  нет; б)  толь­ко число 101; в)  любое, крат­ное трем, ко­ли­че­ство еди­ниц..