Сразу за­ме­тим, что ко­ли­че­ство де­ли­те­лей числа вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле

а)  До­пу­стим, что такое число есть. Оно не­чет­но, по­это­му может де­лить­ся толь­ко на не­чет­ные числа. Зна­чит,   — не­чет­ное, по­это­му все четны. Тогда число яв­ля­ет­ся точ­ным квад­ра­том, од­на­ко квад­ра­ты не могут за­кан­чи­вать­ся на 3. По­лу­че­но про­ти­во­ре­чие.

б)  Из пунк­та а) оче­вид­но, что не­чет­ное хо­ро­шее число обя­за­но быть точ­ным квад­ра­том. При этом если оно яв­ля­ет­ся квад­ра­том про­сто­го числа, то имеет ровно три де­ли­те­ля, зна­чит, хо­ро­шим из таких чисел яв­ля­ет­ся толь­ко 3². По­сколь­ку оста­ет­ся про­ве­рить толь­ко числа 1², 9², 15², 21², 25² и 27²:

Итак, под­хо­дят толь­ко 1, 3², 15², 21², 25², то есть пять чисел.

в)  Ясно, что n крат­но p. Пусть где y не крат­но p. Тогда пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Оче­вид­но, что по­сколь­ку все де­ли­те­ли y со­дер­жат­ся среди y чисел Зна­чит, Вы­яс­ним, когда такое воз­мож­но:

—  если это утвер­жде­ние верно при любом p.

—  если то

—  если то то есть

При про­чих по­лу­ча­ем:

Мы ис­поль­зу­ем не­ра­вен­ство при об­ра­ща­ю­ще­е­ся в ра­вен­ство при и и вер­ное при по­сколь­ку функ­ция имеет про­из­вод­ную при и по­то­му воз­рас­та­ет (сле­до­ва­тель­но, по­ло­жи­тель­на).

Раз­бе­рем остав­ши­е­ся слу­чаи. Пусть Тогда и урав­не­ние при­ни­ма­ет вид По­сколь­ку (все де­ли­те­ли числа раз­би­ва­ют­ся на пары, да­ю­щие в про­из­ве­де­нии это число, а один из эле­мен­тов каж­дой пары не пре­вос­хо­дит по­лу­ча­ем то есть Пе­ре­би­рая такие числа, на­хо­дим y  =  8 или y  =  12. Итак, го­дят­ся лишь два числа  — 8p и 12p.

Пусть p  =  3. При урав­не­ние при­ни­ма­ет вид но те­перь не под­хо­дит, по­сколь­ку 12 крат­но p. Итак, го­дит­ся лишь При урав­не­ние при­ни­ма­ет вид то есть Го­дят­ся y  =  1 или y  =  2, дру­гие числа y не будут крат­ны y – 1 и по­то­му будут иметь менее y де­ли­те­лей. Зна­чит, n  =  9 или n  =  18.

Пусть p  =  2. При x  =  1 те­перь не под­хо­дят ни 8p, ни 12p. При урав­не­ние при­ни­ма­ет вид Зна­чит, y крат­но 3 и при этом от­ку­да Пе­ре­бор по­ка­зы­ва­ет, что y  =  3 под­хо­дит, а y  =  6 и y  =  9  — нет (y  =  6 под­хо­дит в это урав­не­ние, но крат­но 2). Итак, еще один ответ это

На­ко­нец, при урав­не­ние при­ни­ма­ет вид то есть Го­дят­ся y  =  1 или y  =  2 (вто­рое зна­че­ние на самом деле не под­хо­дит, по­сколь­ку крат­но p), дру­гие числа y не будут крат­ны y – 1 и по­то­му будут иметь менее y де­ли­те­лей. Итак, го­дит­ся лишь n  =  8.

Ответ: а)  нет; б)  5; в)  при p  =  2 под­хо­дят числа 8 и 12; при p  =  3 под­хо­дят числа 9, 18 и 24; при про­чих p под­хо­дят числа 8p и 12p.