а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD точка K яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра SD, а точка L  — се­ре­ди­ной сто­ро­ны BC ос­но­ва­ния ABCD. Плос­кость AKL пе­ре­се­ка­ет ребро SC в точке N.

а)  До­ка­жи­те, что SN : NС  =  2 : 1.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми AKL и ABC, если AB  =  10, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 20.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ев­ге­ний взял 15 ян­ва­ря кре­дит на сумму 1 млн руб. на 6 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы. Каж­дый месяц 1‐⁠го числа долг воз­рас­та­ет на целое число r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца. Со 2‐⁠го по 14‐⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга. Каж­дый месяц 15‐⁠го числа долг дол­жен со­став­лять не­ко­то­рую сумму в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей:

Найти наи­мень­шее зна­че­ние r, при ко­то­ром общая сумма вы­плат будет со­став­лять более 1,25 млн руб.

В тре­уголь­ни­ке ABC точка D лежит на сто­ро­не BC. В тре­уголь­ни­ки ABD и ACD впи­са­ны окруж­но­сти, и к ним про­ве­де­на общая внеш­няя ка­са­тель­ная (от­лич­ная от BC), пе­ре­се­ка­ю­щая AD в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что длина от­рез­ка AK не за­ви­сит от по­ло­же­ния точки D на BC.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка AK, если пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен 30, а длина сто­ро­ны BC равна 10.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно три ре­ше­ния.

Мно­же­ство про­стых де­ли­те­лей числа n будем на­зы­вать ДНК этого числа. Числа m и n, име­ю­щие оди­на­ко­вые ДНК, будем на­зы­вать род­ствен­ны­ми. На­при­мер, числа 12 и 18 род­ствен­ные, т. к. их ДНК={2,3}.

Число m на­зы­ва­ет­ся сим­мет­рич­ным с чис­лом n, если оно за­пи­са­но теми же циф­ра­ми, но в об­рат­ном по­ряд­ке. При этом если по­след­ни­ми циф­ра­ми числа n были нули, то в на­ча­ле числа m они от­бра­сы­ва­ют­ся.

а)  Пусть число n де­лит­ся на 10. Может ли оно быть род­ствен­ным со своим сим­мет­рич­ным чис­лом?

б)   Сумма пер­вой и по­след­ней цифр на­ту­раль­но­го числа равна 13. Может ли оно быть род­ствен­ным со своим сим­мет­рич­ным чис­лом?

в)  Най­ди­те ми­ни­маль­ное и мак­си­маль­ное со­став­ное трёхзнач­ное число, у ко­то­ро­го нет трёхзнач­ных род­ствен­ных чисел.