ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Тип 13 № 669743

i

а)  Решите уравнение $синус 6 Пи x минус косинус 3 Пи x = корень из 2 косинус левая круглая скобка 3 Пи x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка минус 1.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 1 минус корень из 2 ; корень из 2 минус 1 правая квадратная скобка .$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 14 № 669744

i

Дан тетраэдр SABC. На его ребре AC выбрана точка P так, что AP : PC  =  3 : 5. Также на ребрах SA, SB и BC выбраны точки T, Q и R соответственно так, что PTQR  — квадрат со стороной 3.

а)  Докажите, что BR : RC  =  3 : 5.

б)  Найдите расстояние от точки C до плоскости PTQ, если известно, что объем тетраэдра равен  32.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 15 № 669745

i

Решите неравенство $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 1 минус x в квадрате плюс 2x конец аргумента плюс x минус 2, знаменатель: логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 1,5 минус x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 5 2 конец дроби меньше или равно 0.$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип Д16 C5 № 669748

i

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1800 тысяч рублей. Условия его возврата таковы

  —  каждый январь 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

  —  каждый январь 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг будет возрастать на r% по сравнению с концом предыдущего года;

  —  с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

  —  в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

  —  в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

  —  к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Найдите r, если известно, что общие суммы выплат за первые пять лет и за последние пять лет должны составить соответственно 1540 тысяч и 1420 тысяч рублей.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 17 № 669750

i

Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке L, а окружность с диаметром AC пересекает основание AD в точке K. Отрезки AL и CK пересекаются в точке M.

а)  Докажите, что точка M лежит на диагонали BD трапеции ABCD.

б)  Найдите расстояние от точки M до боковой стороны AB, если BC  =  4, AD  =  28.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 18 № 669751

i

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

$система выражений косинус левая круглая скобка y минус a правая круглая скобка минус 2 косинус x = 0, логарифм по основанию 2 левая круглая скобка ay минус y в квадрате правая круглая скобка = 2 логарифм по основанию 4 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка 3y правая круглая скобка конец системы .$

имеет нечетное число решений.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 669752

i

Пусть $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_2025$   — некоторые действительные числа, причем $|a_i плюс 1 минус a_i| меньше или равно 1$ для $i = 1, 2, 3, \ldots, 2024.$ Рассмотрим выражение $S = a_1a_2 плюс a_2a_3 плюс a_3a_4 плюс \ldots плюс a_2024a_2025.$

а)  Может ли $S = 2?$

б)  Может ли $S = минус 1?$

в)  Какое наименьшее возможное значение S?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

А. Ларин. Тренировочный вариант № 475.