В груп­пе по­ров­ну юно­шей и де­ву­шек. Юноши от­прав­ля­ли элек­трон­ные пись­ма де­вуш­кам. Каж­дый юноша от­пра­вил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех, и дру­гих юно­шей было не менее двух. Воз­мож­но, что какой-то юноша от­пра­вил какой-то де­вуш­ке не­сколь­ко писем.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что каж­дая де­вуш­ка по­лу­чи­ла ровно 7 писем?

б)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство де­ву­шек могло быть в груп­пе, если из­вест­но, что все они по­лу­чи­ли писем по­ров­ну?

в)  Пусть все де­вуш­ки по­лу­чи­ли раз­лич­ное ко­ли­че­ство писем (воз­мож­но, какая-то де­вуш­ка не по­лу­чи­ла писем во­об­ще). Ка­ко­во наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство де­ву­шек в такой груп­пе?

В груп­пе по­ров­ну юно­шей и де­ву­шек. Юноши от­прав­ля­ли элек­трон­ные пись­ма де­вуш­кам. Каж­дый юноша от­пра­вил или 4 пись­ма, или 21 пись­мо, причём и тех, и дру­гих юно­шей было не менее двух. Воз­мож­но, что какой-⁠то юноша от­пра­вил какой-⁠то де­вуш­ке не­сколь­ко писем.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что каж­дая де­вуш­ка по­лу­чи­ла ровно 7 писем?

б)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство де­ву­шек могло быть в груп­пе, если из­вест­но, что все они по­лу­чи­ли писем по­ров­ну?

в)  Пусть все де­вуш­ки по­лу­чи­ли раз­лич­ное ко­ли­че­ство писем (воз­мож­но, какая-то де­вуш­ка не по­лу­чи­ла писем во­об­ще). Ка­ко­во наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство де­ву­шек в такой груп­пе?

На доске за­пи­са­но k по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел. Ока­за­лось, что среди них чисел, де­ля­щих­ся на 20, мень­ше, чем чисел, де­ля­щих­ся на 23.

а)  Могло ли среди за­пи­сан­ных чисел быть ровно три числа, де­ля­щих­ся на 20?

б)  Могло ли среди за­пи­сан­ных чисел быть ровно де­сять чисел, де­ля­щих­ся на 20?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние k.

На доске за­пи­са­но k по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел. Ока­за­лось, что среди них чисел, де­ля­щих­ся на 25, мень­ше, чем чисел, де­ля­щих­ся на 29.

а)  Могло ли среди за­пи­сан­ных чисел быть ровно три числа, де­ля­щих­ся на 25?

б)  Могло ли среди за­пи­сан­ных чисел быть ровно де­сять чисел, де­ля­щих­ся на 25?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние k.

На доске за­пи­са­но 10 на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых нет оди­на­ко­вых. Ока­за­лось, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из за­пи­сан­ных яв­ля­ет­ся целым чис­лом. Одно из за­пи­сан­ных чисел равно 30 021.

а)  Может ли среди за­пи­сан­ных на доске чисел быть число 351?

б)  Может ли от­но­ше­ние двух за­пи­сан­ных на доске чисел рав­нять­ся 11?

в)  От­но­ше­ние двух за­пи­сан­ных на доске чисел яв­ля­ет­ся целым чис­лом n. Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние n.

На доске за­пи­са­но 10 на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых нет оди­на­ко­вых. Ока­за­лось, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из за­пи­сан­ных яв­ля­ет­ся целым чис­лом. Одно из за­пи­сан­ных чисел равно 30 032.

а)  Может ли среди за­пи­сан­ных на доске чисел быть число 312?

б)  Может ли от­но­ше­ние двух за­пи­сан­ных на доске чисел рав­нять­ся 6?

в)  От­но­ше­ние двух за­пи­сан­ных на доске чисел яв­ля­ет­ся целым чис­лом n. Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние n.

На доске за­пи­са­но 10 на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых нет оди­на­ко­вых. Ока­за­лось, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из за­пи­сан­ных яв­ля­ет­ся целым чис­лом. Одно из за­пи­сан­ных чисел равно 30 035.

а)  Может ли среди за­пи­сан­ных на доске чисел быть число 325?

б)  Может ли от­но­ше­ние двух за­пи­сан­ных на доске чисел рав­нять­ся 7?

в)  От­но­ше­ние двух за­пи­сан­ных на доске чисел яв­ля­ет­ся целым чис­лом n. Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние n.

На доске за­пи­са­но 10 на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых нет оди­на­ко­вых. Ока­за­лось, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из за­пи­сан­ных яв­ля­ет­ся целым чис­лом. Одно из за­пи­сан­ных чисел равно 30 033.

а)  Может ли среди за­пи­сан­ных на доске чисел быть число 303?

б)  Может ли от­но­ше­ние двух за­пи­сан­ных на доске чисел рав­нять­ся 31?

в)  От­но­ше­ние двух за­пи­сан­ных на доске чисел яв­ля­ет­ся целым чис­лом n. Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние n.

На доске на­пи­са­но 10 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Из­вест­но, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское любых че­ты­рех или семи чисел яв­ля­ет­ся целым чис­лом.

а)  Могут ли на доске од­но­вре­мен­но быть за­пи­са­ны числа 563 и 1417?

б)  Может ли одно из на­пи­сан­ных на доске чисел быть квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа, если на доске есть число 563?

в)  Най­ди­те ми­ни­маль­ное n, при ко­то­ром на доске од­но­вре­мен­но за­пи­са­ны числа 1 и n².

На доске на­пи­са­но 10 на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых нет оди­на­ко­вых. Ока­за­лось, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское любых че­ты­рех или семи чисел из за­пи­сан­ных яв­ля­ет­ся целым чис­лом.

а)  Могут ли среди за­пи­сан­ных на доске чисел од­но­вре­мен­но быть числа 567 и 1414?

б)  Может ли одно из за­пи­сан­ных на доске чисел быть квад­ра­том дру­го­го, если среди за­пи­сан­ных на доске чисел есть число 567?

в)  Из­вест­но, что среди за­пи­сан­ных на доске чисел есть число n и его квад­рат n². Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние n.

На доске на­пи­са­но 10 на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых нет оди­на­ко­вых. Ока­за­лось, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское любых пяти или шести чисел из за­пи­сан­ных яв­ля­ет­ся целым чис­лом.

а)  Могут ли среди за­пи­сан­ных на доске чисел од­но­вре­мен­но быть числа 602 и 1512?

б)  Может ли одно из за­пи­сан­ных на доске чисел быть квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа, если среди за­пи­сан­ных на доске чисел есть число 602?

в)  Из­вест­но, что среди за­пи­сан­ных на доске чисел есть число 1 и квад­рат n² на­ту­раль­но­го числа n, боль­ше­го 1. Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние n.

а)  При­ве­ди­те при­мер се­ми­знач­но­го числа, из ко­то­ро­го, вы­чер­ки­вая цифры, можно по­лу­чить каж­дое из чисел: 206, 835, 930.

б)  Су­ще­ству­ет ли вось­ми­знач­ное число, из ко­то­ро­го, вы­чер­ки­вая цифры, можно по­лу­чить каж­дое из чисел: 247, 345, 586, 812.

в)  Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, из ко­то­ро­го можно по­лу­чить все на­ту­раль­ные числа от 1 до 50 вклю­чи­тель­но, вы­чер­ки­вая цифры.

На доске за­пи­са­но не­ко­то­рое ко­ли­че­ство по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых ровно пять де­лят­ся на 15.

а)  Могло ли среди за­пи­сан­ных чисел быть боль­ше 5 чисел, де­ля­щих­ся на 16?

б)  Могло ли среди за­пи­сан­ных чисел быть мень­ше пяти чисел, де­ля­щих­ся на 11?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное число k такое, что среди за­пи­сан­ных чисел боль­ше пяти чисел де­лят­ся на k.

На доске на­пи­са­но 30 чисел: де­сять «5», де­сять «4» и де­сять «3». Эти числа раз­би­ва­ют на две груп­пы, в каж­дой из ко­то­рых есть хотя бы одно число. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел в пер­вой груп­пе равно А, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел во вто­рой груп­пе равно В. (Для груп­пы из един­ствен­но­го числа сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно этому числу.)

а)  При­ве­ди­те при­мер раз­би­е­ния ис­ход­ных чисел на две груп­пы, при ко­то­ром сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел мень­ше

б)  До­ка­жи­те, что если раз­бить ис­ход­ные числа на две груп­пы по 15 чисел, то сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел будет равно

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние вы­ра­же­ния

На доске на­пи­са­но 24 числа: во­семь «5», во­семь «4» и во­семь «3». Эти числа раз­би­ва­ют на две груп­пы, в каж­дой из ко­то­рых есть хотя бы одно число. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел в пер­вой груп­пе равно А, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел во вто­рой груп­пе равно В. (Для груп­пы из един­ствен­но­го числа сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно этому числу.)

а)  При­ве­ди­те при­мер раз­би­е­ния ис­ход­ных чисел на две груп­пы, при ко­то­ром сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел мень­ше

б)  До­ка­жи­те, что если раз­бить ис­ход­ные числа на две груп­пы по 12 чисел, то сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел будет равно

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние вы­ра­же­ния