Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Пусть данное число равно 100a + 10b + c, где a, b и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно k, то выполнено 
а) Если частное равно 
то 
что верно, например, при 
— частное числа 
и суммы его цифр равно 
б) Если частное равно 
то 
Так как a < 10, то 
или 
В обоих этих случаях не существует натурального числа a, удовлетворяющего уравнению. Значит, частное трёхзначного числа и суммы его цифр не может быть равным 88.
в) Пусть k — наибольшее натуральное значение частного числа, не кратного 
и суммы его цифр. Тогда
Учитывая, что 
получаем:
откуда 
Частное числа 
и суммы его цифр равно 
Значит, наибольшее натуральное значение частного трёхзначного числа, не кратного и суммы его цифр равно 91.
Ответ: а) да; б) нет; в) 91.
В пункте а) можно решить без подбора, точной методикой:
100a+10b+c=90a+90b+90c, тогда 10a-80b=89c и 10(a-8b)=89c.
Число 89*с не делится нацело на 10, так как с натуральное число от 1 до 9 или 0, число a-8b является целым, так как числа a и b натуральные. Значит, a-8b=c=0, откуда a-8b=0. Тогда так как a < 10, b может быть только 1, откуда:
a = 8, b = 1, c = 0.
Получен точный ответ без подбора.