Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 502027

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Решение.

Пусть данное число равно 100a + 10b + c, где a, b и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно k, то выполнено 100a плюс 10b плюс c = ka плюс kb плюс kc.

а) Если частное равно 90, то 100a плюс 10b плюс c=90a плюс 90b плюс 90c; 10a=80b плюс 89c, что верно, например, при c=0,b=1, a=8 — частное числа 810 и суммы его цифр равно 90.

б) Если частное равно 88, то 100a плюс 10b плюс c=88a плюс 88b плюс 88c равносильно 12a=78b плюс 87c равносильно 4a=26b плюс 29c. Так как a < 10, то b =0, c=1 или b =1, c=0. В обоих этих случаях не существует натурального числа a, удовлетворяющего уравнению. Значит, частное трёхзначного числа и суммы его цифр не может быть равным 88.

в) Пусть k — наибольшее натуральное значение частного числа, не кратного 100, и суммы его цифр. Тогда

100a плюс 10b плюс c=ka плюс kb плюс kc равносильно левая круглая скобка 100 минус k правая круглая скобка a= левая круглая скобка k минус 10 правая круглая скобка b плюс левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка c.

Учитывая, что b плюс c больше 0, получаем:

9 левая круглая скобка 100 минус k правая круглая скобка больше или равно левая круглая скобка 100 минус k правая круглая скобка a= левая круглая скобка k минус 10 правая круглая скобка b плюс левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка c больше или равно левая круглая скобка k минус 10 правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс c правая круглая скобка больше или равно k минус 10,

откуда 9 левая круглая скобка 100 минус k правая круглая скобка больше или равно k минус 10 равносильно 10k\le910 равносильно k\le91.

Частное числа 910 и суммы его цифр равно 91. Значит, наибольшее натуральное значение частного трёхзначного числа, не кратного 100, и суммы его цифр равно 91.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 91.


Аналоги к заданию № 502027: 521670 502058 503325 503365 511370 Все

Источник: ЕГЭ по математике 10.06.2013. Вторая волна. Центр. Вариант 601., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства
Спрятать решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Roman Ketov 29.06.2018 23:00

В пункте а) можно решить без подбора, точной методикой:

 

100a+10b+c=90a+90b+90c, тогда 10a-80b=89c и 10(a-8b)=89c.

 

Число 89*с не делится нацело на 10, так как с натуральное число от 1 до 9 или 0, число a-8b является целым, так как числа a и b натуральные. Значит, a-8b=c=0, откуда a-8b=0. Тогда так как a < 10, b может быть только 1, откуда:

 

a = 8, b = 1, c = 0.

 

Получен точный ответ без подбора.