Даны 15 различных натуральных чисел, записанных в порядке возрастания.
а) Могут ли эти числа образовывать арифметическую прогрессию, если сумма первого, третьего и седьмого из них равна 125, а сумма всех чисел равна 885?
б) Могут ли эти числа образовывать арифметическую прогрессию, если сумма первого, третьего и седьмого из них равна 90, а сумма всех чисел равна 810?
в) Могут ли первые восемь из этих чисел образовывать геометрическую прогрессию с целым знаменателем, если сумма этих восьми чисел равна 103 · 994?
а) Допустим, первый член равен a, а разность прогрессии равна d. Из условия получаем систему уравнений: 
откуда 
и 
Решая ее, находим a = 31, d = 4. Итак, для прогрессии 31, 35, ..., 87 все условия выполнены.
б) Составляя аналогично систему, получим: 
откуда 
и 
Умножая последнее уравнение на 3 и вычитая из него первое, получим 
что невозможно при целом d.
в) Пусть первые восемь чисел равны b, bq, ... bq7. Тогда 
то есть 
Ясно, что 102, 70, 6 и 1 не могут быть равны q2 или q4, поэтому каждая из скобок (1 + q2) и (1 + q4) требует минимум двух простых множителей. Но поскольку их всего 4, они будут целиком использованы, и тогда q + 1 = 1, что невозможно.
Ответ: а) да; б) нет; в) нет.