а) Приведите пример натурального числа, произведение всех делителей которого оканчивается на 6 нулей.
б) Может ли произведение всех делителей числа, оканчивающегося ровно на три нуля, оканчиваться на нечетное число нулей?
в) Произведение всех делителей натурального числа N оканчивается на 333 нуля. На сколько нулей может оканчиваться число N?
a) Искомое число обязательно делится на 2 и 5, поэтому будем искать его в виде 
Тогда его делители имеют вид 
где 
Следовательно, их произведение равно 
Значит, у этого числа в конце 
ноль. 
откуда 
и 
б) Искомое число X имеет вид 
или 
где 
Рассмотрим первый случай (второй аналогичен), обозначим через Y число 
Назовем произведение всех делителей числа Y буквой M, а число делителей числа Y буквой N. Тогда произведение всех делителей числа Х есть 
то есть 
В разложении на простые множители этого числа четное количество двоек и пятерок, значит, и количество нулей четно.
в) Пусть искомое число X имеет вид 
где 
(случай 
аналогичен). Требуется найти 
Пусть 
произведение всех делителей числа Y обозначим через M, число делителей числа Y обозначим через N. Произведение всех делителей числа X есть 
Заметим, что степень множителя 5 в числе M не меньше 
(поскольку по аналогичным соображениям она равно 
т. к. 
(через K обозначено число делителей числа B)). Поэтому число нулей в произведении всех делителей числа Х есть 
Отсюда получаем, что 
то есть 
или 
Оба случая возможны.
Пример для : 
Пример для 
: 
Ответ: а) например, 160; б) нет; в) 1 или 2 нуля.