а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы АВСDA₁В₁С₁D₁ лежит рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция АВСD c ос­но­ва­ни­я­ми AD и ВС. Из­вест­но, что AD : BC  =  2 : 1 и АВ  =  ВС.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые DB₁ и A₁B₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми CD₁ и DB₁, если бо­ко­вая грань AA₁D₁D  — квад­рат.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Окруж­ность с цен­тром О, впи­сан­ная в тре­уголь­ник АВС, ка­са­ет­ся его сто­рон ВС, АВ и АС в точ­ках K, L и М со­от­вет­ствен­но. Пря­мая КМ вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет в точке Р окруж­ность ра­ди­у­са АМ с цен­тром А.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая АР па­рал­лель­на пря­мой ВС.

б)  Пусть AM  =  3, CM  =  2, Q  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых КМ и АВ, а Т  — такая точка на от­рез­ке РQ, что Най­ди­те QT.

В рас­по­ря­же­нии про­ра­ба име­ет­ся бри­га­да ра­бо­чих в со­ста­ве 35 че­ло­век. Их нужно рас­пре­де­лить на стро­и­тель­ство двух част­ных домов, на­хо­дя­щих­ся в раз­ных го­ро­дах. Если на стро­и­тель­стве пер­во­го дома ра­бо­та­ет t че­ло­век, то их су­точ­ная зар­пла­та со­став­ля­ет 7t² д. е. Если на стро­и­тель­стве вто­ро­го дома ра­бо­та­ет t че­ло­век, то их су­точ­ная зар­пла­та со­став­ля­ет 3t² д. е. Какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство де­неж­ных еди­ниц при­дет­ся вы­пла­тить ра­бо­чим за сутки?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства

со­дер­жит от­ре­зок [4; 7].

По­сле­до­ва­тель­ность a₁, a₂, a₃, ... со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел, при­чем a_n+2  =  a_n+1 + a_n при всех на­ту­раль­ных n.

а)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

б)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

в)  При каком наи­боль­шем на­ту­раль­ном n может вы­пол­нять­ся ра­вен­ство