а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де PABC с ос­но­ва­ни­ем ABC из­вест­но, что AB  =  13, PB  =  15, Ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся точка C. Пря­мые PA и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды PABC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Окруж­ность, впи­сан­ная в тра­пе­цию ABCD, ка­са­ет­ся ее бо­ко­вых сто­рон AB и CD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что AM  =  8MB и DN  =  2CN.

а)  До­ка­жи­те, что AD  =  4BC.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен

Вадим яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в раз­ных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры при ис­поль­зо­ва­нии оди­на­ко­вых тех­но­ло­гий. Если ра­бо­чие на одном из за­во­дов тру­дят­ся сум­мар­но часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят t еди­ниц то­ва­ра.

За каж­дый час ра­бо­ты на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, Вадим пла­тит ра­бо­че­му 200 руб­лей, а на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де,  — 300 руб­лей.

Вадим готов вы­де­лять 1 200 000 руб­лей в не­де­лю на опла­ту труда ра­бо­чих. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра можно про­из­ве­сти за не­де­лю на этих двух за­во­дах?

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [0; 1].

С на­ту­раль­ным чис­лом про­во­дят сле­ду­ю­щую опе­ра­цию: между каж­ды­ми двумя его со­сед­ни­ми циф­ра­ми за­пи­сы­ва­ют сумму этих цифр (на­при­мер, из числа 1923 по­лу­ча­ет­ся число 110911253).

а)  При­ве­ди­те при­мер числа, из ко­то­ро­го по­лу­ча­ет­ся 2108124117.

б)  Может ли из ка­ко­го-⁠ни­будь числа по­лу­чить­ся число 37494128?

в)  Какое наи­боль­шее число, крат­ное 11, может по­лу­чить­ся из трех­знач­но­го числа?