СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 516054

Шесть различных натуральных чисел таковы, что никакие два из них не имеют общего делителя, большего 1.

а) Может ли сумма этих чисел быть равной 39?

б) Может ли сумма этих чисел быть равной 34?

в) Какова их минимальная сумма?

Ре­ше­ние.

а) Да, может: 1 + 2 + 5 + 7 + 11 + 13 = 39.

б) Среди дан­ных чисел не боль­ше од­но­го чётного, иначе чётные числа будут иметь общий де­ли­тель, рав­ный 2.

Если чётное число среди них ровно одно, то сумма всех шести чисел нечётна, и, тем самым, не равна 34. Сле­до­ва­тель­но, все шесть чисел долж­ны быть нечётны. Найдём сумму пер­вых шести нечётных чисел, не име­ю­щих общих де­ли­те­лей: 1 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 40. Это число боль­ше 34, тем самым, сумма не может быть равна 34.

в) Сумма пер­вых пяти нечётных чисел равна 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25. Сле­до­ва­тель­но, мень­ше 2 + 25 = 27 сумма шести вза­им­но про­стых чисел быть не может. Но числа 3 и 9 имеют общий де­ли­тель 3, по­это­му ис­ко­мая сумма не равна 27.

Чтобы по­лу­чить 28 не­об­хо­ди­мо либо скла­ды­вать чётное число чётных чисел, либо все шесть чисел долж­ны быть нечётными. Пер­вое не­воз­мож­но, по­сколь­ку в на­бо­ре не более од­но­го чётного числа. Вто­рое не­воз­мож­но, по­сколь­ку сумма пер­вых шести нечётных чисел равна 36.

Числа 1, 2, 3, 5, 7 и 11 вза­им­но про­стые и в сумме дают 29. Это и есть ис­ко­мый набор.

 

Ответ: а) да, б) нет, в) 29.

Источник: Пробный экзамен МЦНМО, Москва, 2017
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства, Числа и их свойства