Каждую цифру a натурального числа n заменим последней цифрой числа a3. Полученное в результате такой замены число будем обозначать n* и называть взаимным с числом n. Число, совпадающее со своим взаимным, будем называть особенным.
а) Могут ли два разных натуральных числа иметь одинаковые взаимные числа?
б) Для каких натуральных чисел n будет особенным число 
Сколько всего существует трехзначных особенных чисел?
в) Решите уравнение 
Составим таблицу, показывающую на что заменяются цифры при взятии взаимного числа:
То есть цифры 0, 1, 4, 5, 6, 9 не меняются, а остальные меняются на дополнение до 10.
а) Из этой таблицы видно, что по каждой цифре взаимного числа однозначно восстанавливается цифра исходного, поэтому совпадение взаимных чисел невозможно.
б) Запишем число в виде
где 
— цифры. Пусть далее
тогда
При этом для каждого номера цифры либо 
и эта цифра заменяется на себя же, либо 
— эта цифра тоже заменяется на себя. Значит, данное число всегда особенное. Трехзначное особенное число строится так — на первое место можно поставить любую из 5 цифр 1, 4, 5, 6, 9, на остальные места еще и 0, что дает 
вариантов.
в) Из этого уравнения получаем: 
Значит, (см. п. б), на первом месте у n обязательно стоит 6, на третьем 9, а на втором либо 5 (и не меняется), либо одна из меняющихся цифр. Окончательно, 
Ответ: а) нет; б) всегда, 180; в) 