а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

Дан пря­мой кру­го­вой конус с вер­ши­ной М. Осе­вое се­че­ние ко­ну­са  — тре­уголь­ник с углом 120° при вер­ши­не М. Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна Через точку М про­ве­де­но се­че­ние ко­ну­са, пер­пен­ди­ку­ляр­ное одной из об­ра­зу­ю­щих.

а)  До­ка­жи­те, что по­лу­чив­ший­ся в се­че­нии тре­уголь­ник  — ту­по­уголь­ный.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра О ос­но­ва­ния ко­ну­са до плос­ко­сти се­че­ния.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС про­ве­ли вы­со­ты АН₁ и СН₂, затем про­ве­ли луч НМ, ко­то­рый пе­ре­се­ка­ет окруж­ность, опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка АВС, в точке К, где М  — се­ре­ди­на АС, а Н  — точка пе­ре­се­че­ния высот.

а)  До­ка­жи­те, что НМ  =  МК.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ВСК, если AC  =  1.

5 ян­ва­ря 2020 года Ан­дрей пла­ни­ру­ет от­крыть вклад на сумму 3 мил­ли­о­на руб­лей. Пер­вые три года 2 ян­ва­ря банк будет на­чис­лять 10% на сумму вкла­да, а в по­сле­ду­ю­щие годы банк будет на­чис­лять 5% на сумму вкла­да.

4 ян­ва­ря каж­до­го года Ан­дрей будет де­лать до­пол­ни­тель­ный взнос на вклад так, чтобы после этого ве­ли­чи­на вкла­да на 5 ян­ва­ря была боль­ше ве­ли­чи­ны вкла­да на 5 ян­ва­ря про­шло­го года на одно и то же число. Опре­де­ли­те общий раз­мер на­чис­ле­ний банка, если 3 ян­ва­ря 2031 года на вкла­де будет ле­жать 24,15 мил­ли­о­на руб­лей.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно 1 ре­ше­ние.

На­зо­вем на­ту­раль­ное число «за­ме­ча­тель­ным», если оно самое ма­лень­кое среди на­ту­раль­ных чисел с такой же, как у него, сум­мой цифр.

а)  Чему равна сумма цифр две ты­ся­чи пят­на­дца­то­го за­ме­ча­тель­но­го числа?

б)  Сколь­ко су­ще­ству­ет двух­знач­ных за­ме­ча­тель­ных чисел?

в)  Какой по­ряд­ко­вый номер за­ме­ча­тель­но­го числа 5999?

г)  Чему равна сумма всех че­ты­рех­знач­ных за­ме­ча­тель­ных чисел?