а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния а бо­ко­вое ребро AA₁  =  8.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость BCA₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через ребро AA₁ и се­ре­ди­ну ребра B₁C₁.

б)  Най­ди­те тан­генс угла между плос­ко­стя­ми BCA₁ и BB₁C₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

На сто­ро­нах AC и BC тре­уголь­ни­ка ABC вне тре­уголь­ни­ка по­стро­е­ны квад­ра­ты ACDE и BFKC. Точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ния от точки M до цен­тров квад­ра­тов, если и

В двух об­ла­стях есть по 50 ра­бо­чих, каж­дый из ко­то­рых готов тру­дить­ся по 10 часов в сутки на до­бы­че алю­ми­ния или ни­ке­ля. В пер­вой об­ла­сти один ра­бо­чий за час до­бы­ва­ет 0,2 кг алю­ми­ния или 0,1 кг ни­ке­ля. Во вто­рой об­ла­сти для до­бы­чи x кг алю­ми­ния в день тре­бу­ет­ся x² че­ло­ве­ко-⁠часов труда, а для до­бы­чи y кг ни­ке­ля в день тре­бу­ет­ся y² че­ло­ве­ко-⁠часов труда.

Обе об­ла­сти по­став­ля­ют до­бы­тый ме­талл на завод, где для нужд про­мыш­лен­но­сти про­из­во­дит­ся сплав алю­ми­ния и ни­ке­ля, в ко­то­ром 1 кг алю­ми­ния при­хо­дит­ся на 2 кг ни­ке­ля. При этом об­ла­сти до­го­ва­ри­ва­ют­ся между собой вести до­бы­чу ме­тал­лов так, чтобы завод мог про­из­ве­сти наи­боль­шее ко­ли­че­ство спла­ва. Сколь­ко ки­ло­грам­мов спла­ва при таких усло­ви­ях еже­днев­но смо­жет про­из­ве­сти завод?

Най­ди­те все зна­че­ния k, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

Три раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа яв­ля­ют­ся дли­на­ми сто­рон не­ко­то­ро­го ту­по­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка.

а)  Может ли от­но­ше­ние боль­ше­го из этих чисел к мень­ше­му из них быть равно

б)  Может ли от­но­ше­ние боль­ше­го из этих чисел к мень­ше­му из них быть равно

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать от­но­ше­ние боль­ше­го из этих чисел к мень­ше­му из них, если из­вест­но, что сред­нее по ве­ли­чи­не число равно 18?