ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 549119 Добавить в вариант

а)  Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трехчлена $x в квадрате плюс mx плюс n$ равен 17?

б)  Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трехчлена $x в квадрате плюс mx плюс n$ равен 54?

в)  Какое наименьшее значение принимает дискриминант D квадратного трехчлена $x в квадрате плюс левая круглая скобка 3m плюс n правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка 3n плюс m правая круглая скобка ,$ если известно, что числа m, n и D  — натуральные?

Спрятать решение

Решение.

а)  Да. Например, можно взять $x в квадрате плюс 5x плюс 2.$

б)  Нет. Если бы это было возможно, то выполнялось бы равенство $m в квадрате минус 4n=54,$ откуда $m в квадрате =54 плюс 4n.$ Если m четно, то $m в квадрате$ кратно 4, а 54 + 4n не кратно 4. Если же m нечетно, то $m в квадрате$ тоже нечетно, а 54 + 4n четно.

в)  Дискриминант равен

$левая круглая скобка 3m плюс n правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 3n плюс m правая круглая скобка = левая круглая скобка 3m плюс n правая круглая скобка в квадрате минус 12n минус 4m= левая круглая скобка 3m плюс n правая круглая скобка в квадрате минус 12 левая круглая скобка 3m плюс n правая круглая скобка плюс 32m$ $левая круглая скобка 3m плюс n правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 3n плюс m правая круглая скобка = левая круглая скобка 3m плюс n правая круглая скобка в квадрате минус 12n минус 4m=$
$= левая круглая скобка 3m плюс n правая круглая скобка в квадрате минус 12 левая круглая скобка 3m плюс n правая круглая скобка плюс 32m$

$= левая круглая скобка 3m плюс n правая круглая скобка в квадрате минус 12 левая круглая скобка 3m плюс n правая круглая скобка плюс 36 плюс 32m минус 36= левая круглая скобка 3m плюс n минус 6 правая круглая скобка в квадрате плюс 32m минус 36.$ $= левая круглая скобка 3m плюс n правая круглая скобка в квадрате минус 12 левая круглая скобка 3m плюс n правая круглая скобка плюс 36 плюс 32m минус 36=$
$= левая круглая скобка 3m плюс n минус 6 правая круглая скобка в квадрате плюс 32m минус 36.$

Пусть m  =  1, тогда

$левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 32 минус 36= левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка в квадрате минус 4=n в квадрате минус 6n плюс 5= левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n минус 5 правая круглая скобка .$

При $n принадлежит левая квадратная скобка 1;5 правая квадратная скобка$ это выражение неположительно, а при $n больше или равно 6$ оно возрастает, поэтому оптимальный вариант будет при n  =  6. В этом случае дискриминант будет равен 5 и трехчлен будет иметь вид: $x в квадрате плюс 9x плюс 19.$

Пусть $m больше или равно 2,$ то это выражение будет не меньше $0 в квадрате плюс 32 умножить на 2 минус 36=28.$

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  5.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат: ―  неверный ответ из-за вычислительной ошибки; ―  верный ответ, но решение недостаточно обосновано.	2
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 549119: 548436 Все

Источник: ЕГЭ по математике 25.07.2020. Основная волна, резервный день. Вариант 3

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь