Все де­ли­те­ли на­ту­раль­но­го числа устро­е­ны так: нужно раз­ло­жить число на про­стые мно­жи­те­ли, вы­брать из них толь­ко не­ко­то­рые и пе­ре­мно­жить. Для спе­ци­аль­но­сти де­ли­те­ля нужно также, чтобы все копии од­но­го и того же про­сто­го мно­жи­те­ля либо были взяты, либо на­о­бо­рот не были взяты.

а)  Если хоть одно про­стое число вхо­дит в раз­ло­же­ние дан­но­го не в пер­вой сте­пе­ни, можно взять одним де­ли­те­лем это про­стое, а дру­гим  — про­из­ве­де­ние осталь­ных про­стых, и они не будут спе­ци­аль­ны­ми. Ясно, что каж­дое чет­вер­тое число крат­но 4 и для числа 4x де­ли­тель 2 спе­ци­аль­ным не будет. Зна­чит, чисел может быть не более трех. Числа 33, 34, 35 под­хо­дят.

б)  Если число имеет k раз­лич­ных не­чет­ных про­стых де­ли­те­лей, то оно имеет 2^k не­чет­ных спе­ци­аль­ных де­ли­те­лей (по­сколь­ку каж­дый про­стой де­ли­тель может войти или не войти в раз­ло­же­ние спе­ци­аль­но­го де­ли­те­ля, при­чем если вхо­дит, то в мак­си­маль­но воз­мож­ной для себя сте­пе­ни. Это число четно кроме слу­чая k  =  0, то есть слу­чая, когда число  — сте­пень двой­ки. Сте­пе­ни двой­ки имеют спе­ци­аль­ные де­ли­те­ли толь­ко себя и еди­ни­цу и по­то­му под­хо­дят, по­сколь­ку их сумма не­чет­на (даже для 2⁰ это так).

в)  Число вида имеет 2^x спе­ци­аль­ных де­ли­те­лей и всего де­ли­те­лей. Любое число до 100 имеет не более трех раз­лич­ных про­стых мно­жи­те­лей. Раз­бе­рем слу­чаи.

Если про­стой мно­жи­тель всего один, то спе­ци­аль­ных де­ли­те­лей два, по­это­му всех де­ли­те­лей долж­но быть шесть. Зна­чит, число имеет вид p⁵, по­это­му под­хо­дит толь­ко p  =  2 Итак, 32 это пер­вое такое число..

Если про­стых мно­жи­те­ля два, то спе­ци­аль­ных де­ли­те­лей 4, а всех де­ли­те­лей 12. Тогда число имеет вид или Пер­вое воз­мож­но при (по­лу­ча­ет­ся 96), а про­чие ва­ри­ан­ты дают числа боль­ше 100, по­сколь­ку Сле­до­ва­тель­но, p  =  2, при этом даже и вто­рое воз­мож­но при тех же p и q: а про­чие ва­ри­ан­ты дают числа боль­ше 100, по­сколь­ку по­лу­ча­ем что p  =  2, при этом даже

Если про­стых мно­жи­те­ля три, то спе­ци­аль­ных де­ли­те­лей 8, а всех де­ли­те­лей 24, что не­воз­мож­но (все де­ли­те­ли числа n раз­би­ва­ют­ся на пары да­ю­щих в про­из­ве­де­нии n, по­это­му в каж­дой паре есть число, не боль­шее по­это­му и пар не боль­ше 10).

Ответ: а)  3; б)  сте­пе­ни двой­ки; в)  32, 72, 96.