Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 19 № 520808
i

В шко­лах № 1 и № 2 уча­щи­е­ся пи­са­ли тест. Из каж­дой школы тест пи­са­ли по край­ней мере два уча­щих­ся, а сум­мар­но тест писал 51 уча­щий­ся. Каж­дый уча­щий­ся, пи­сав­ший тест, на­брал на­ту­раль­ное ко­ли­че­ство бал­лов. Ока­за­лось, что в каж­дой школе сред­ний балл был целым чис­лом. После этого один из уча­щих­ся, пи­сав­ших тест, пе­ре­шел из школы № 1 в школу № 2, а сред­ние баллы за тест были пе­ре­счи­та­ны в обеих шко­лах.

а)  Мог ли сред­ний балл в школе № 1 вы­рас­ти в два раза?

б)  Сред­ний балл в школе № 1 вырос на 10%, сред­ний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Мог ли пер­во­на­чаль­ный сред­ний балл в школе № 2 рав­нять­ся 1?

в)  Сред­ний балл в школе № 1 вырос на 10%, сред­ний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние пер­во­на­чаль­но­го сред­не­го балла в школе № 2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть в школе № 1 пи­са­ли тест n уча­щих­ся, а сред­ний балл был равен А. Тогда сум­мар­ный балл всех уча­щих­ся этой школы рав­нял­ся nA. После пе­ре­хо­да уча­ще­го­ся в школу № 2 сред­ний балл вырос в два раза, то есть стал равен 2A, а ко­ли­че­ство уча­щих­ся стало n минус 1. Тогда сум­мар­ный балл после пе­ре­хо­да уча­ще­го­ся стал равен 2 левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка A. Таким об­ра­зом, сум­мар­ный балл умень­шил­ся на nA минус 2 левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка A = левая круг­лая скоб­ка 2 минус n пра­вая круг­лая скоб­ка A, что не­воз­мож­но, по­сколь­ку пе­ре­шед­ший уча­щий­ся на­брал по­ло­жи­тель­ное ко­ли­че­ство бал­лов, а n\geqslant2.

б)  Пусть в школе № 2 сред­ний балл рав­нял­ся В, а пе­ре­шед­ший в нее уча­щий­ся на­брал u бал­лов. Тогда по­лу­ча­ем:

u=nA минус 1,1 левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка A=1,1 левая круг­лая скоб­ка 52 минус n пра­вая круг­лая скоб­ка B минус левая круг­лая скоб­ка 51 минус n пра­вая круг­лая скоб­ка B,

или

10u= левая круг­лая скоб­ка 11 минус n пра­вая круг­лая скоб­ка A= левая круг­лая скоб­ка 62 минус n пра­вая круг­лая скоб­ка B.

Если B=1, то n=2, по­сколь­ку число левая круг­лая скоб­ка 62 минус n пра­вая круг­лая скоб­ка B долж­но де­лить­ся на 10, а левая круг­лая скоб­ка 11 минус n пра­вая круг­лая скоб­ка A не долж­но быть от­ри­ца­тель­ным. По­лу­ча­ем 9A=60, что не­воз­мож­но, по­сколь­ку A целое.

в)  За­ме­тим, что если B=2, то n=2 или n=7. В пер­вом слу­чае 9A=120, а во вто­ром 4A=110. Зна­чит, ни один из этих слу­ча­ев не воз­мо­жен.

При B=3 по­лу­ча­ем n=2, от­ку­да u=18, A=20. Этот слу­чай ре­а­ли­зу­ет­ся, на­при­мер, если в школе № 1 пи­са­ли тест 2 уча­щих­ся и на­бра­ли 22 и 18 бал­лов, а в школе № 2 пи­са­ли тест 49 уча­щих­ся и каж­дый на­брал по три балла, а у пе­ре­шед­ше­го из одной школы в дру­гую уча­ще­го­ся 18 бал­лов.

 

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­ты.4
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.3
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.2
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щий ре­зуль­та­тов:

―  обос­но­ван­ное ре­ше­ние в п. а;

―  при­мер в п. б;

―  ис­ко­мая оцен­ка в п. в;

―  при­мер в п. в, обес­пе­чи­ва­ю­щий точ­ность преды­ду­щей оцен­ки.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 520808: 520884 520920 520858 Все

Источники:
Классификатор алгебры: Числа и их свой­ства
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Скрыть комментарии · Видеокурс · Помощь
Михаил Нестулей 02.06.2018 10:35

А разве есть усло­вие, что новый сред­ний балл-это на­ту­раль­ное число?

Александр Иванов

Та­ко­го усло­вия нет (но и в ре­ше­нии это нигде нет).



О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025