Маша задумала 6 различных натуральных чисел и проделывает с ними такую операцию: сначала находит среднее арифметическое первых двух чисел, затем — среднее арифметическое полученного результата и третьего числа, после — среднее арифметическое полученного результата и четвертого числа, затем — среднее арифметическое полученного числа и пятого числа, и наконец — среднее арифметическое полученного результата и шестого числа. Полученный результат она обозначает через М. Далее Маша находит число А — среднее арифметическое исходных чисел.
а) Возможно ли, что А = М?
б) Возможно ли, что М = 6А?
в) Найдите наибольшее натуральное значение n, для которого возможно, что М = nА.
Обозначим числа буквами a, b, c, d, e, f. Тогда Маша последовательно вычислит
Ясно, что 
а) Если A = M, то
Можно взять, например, a = 1, b = 7, c = 8, d = 2, получить уравнение 13 + 91 + 80 + 8 = 8e + 32f, что верно, например, при e = 12, f = 3.
б) Если M = 6A, то
что невозможно при натуральных числах, поскольку сводится к равенству
в) Имеем:
значит, 
При n = 2 получаем M = 2A, откуда
откуда 
Правая часть кратна 16, значит, и левая должна быть кратна 16. Возьмем a и b такие, что их сумма кратна 16, например a = 1, b = 15, возьмем c, кратное 8, например c = 8, d, кратное 4, например d = 4, и е, кратное 2, например е = 2, получим 29 · 16 + 13 · 16 + 5 · 16 + 1 · 16 = 16f, откуда f = 29 + 13 + 5 + 1 = 48.
Ответ: а) да; б) нет; в) 2.