Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

На чем­пи­о­на­те по прыж­кам к поду вы­сту­па­ют 70 спортс­ме­нов, среди них 20 пры­гу­нов из Гол­лан­дии и 36 пры­гу­нов из Ко­лум­бии, и 14 из Сер­бии. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ше­стым будет вы­сту­пать пры­гун из Сер­бии.

Най­ди­те цен­траль­ный угол AOB, если он на боль­ше впи­сан­но­го угла ACB, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же дугу. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Объём пер­во­го ци­лин­дра равен 6 м³. У вто­ро­го ци­лин­дра вы­со­та в два раза мень­ше, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния в три раза боль­ше, чем у пер­во­го. Найди объём вто­ро­го ци­лин­дра (в м³).

Дан гра­фик функ­ции ка­са­тель­ная в точке с абс­цис­сой x₀. Найти зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции в x₀.

Во­до­лаз­ный ко­ло­кол, со­дер­жа­щий моля воз­ду­ха при дав­ле­нии ат­мо­сфе­ры, мед­лен­но опус­ка­ют на дно водоёма. При этом про­ис­хо­дит изо­тер­ми­че­ское сжа­тие воз­ду­ха до ко­неч­но­го дав­ле­ния Ра­бо­та, со­вер­ша­е­мая водой при сжа­тии воз­ду­ха, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем где   — по­сто­ян­ная, К  — тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха. Най­ди­те, какое дав­ле­ние (в атм) будет иметь воз­дух в ко­ло­ко­ле, если при сжа­тии воз­ду­ха была со­вер­ше­на ра­бо­та в 34500 Дж.

Теп­ло­ход про­хо­дит по те­че­нию реки до пунк­та на­зна­че­ния 80 км и после сто­ян­ки воз­вра­ща­ет­ся в пункт от­прав­ле­ния. Най­ди­те ско­рость теп­ло­хо­да в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния равна 5 км/ч, сто­ян­ка длит­ся 23 часа, а в пункт от­прав­ле­ния теп­ло­ход воз­вра­ща­ет­ся через 35 часов после от­плы­тия из него.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те зна­че­ние

Стре­лок стре­ля­ет по 4 оди­на­ко­вым ми­ше­ням по од­но­му разу, ве­ро­ят­ность про­ма­ха 0,2, най­ди­те ве­ро­ят­ность что он попадёт в первую ми­шень, а в 3 остав­ши­е­ся про­мах­нет­ся.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Точка М  — се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра SC пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD, точка N лежит на сто­ро­не ос­но­ва­ния ВС. Плос­кость α про­хо­дит через точки М и N па­рал­лель­но бо­ко­во­му ребру SA.

а)  Плос­кость α пе­ре­се­ка­ет ребро DS в точке L. До­ка­жи­те, что

б)  Пусть Най­ди­те от­но­ше­ние объёмов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость α раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на пять лет в раз­ме­ре 3,3 млн руб. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг будет воз­рас­тать на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в июле 2027, 2028 и 2029 годах долг остаётся равен 3,3 млн руб.;

—  пла­те­жи в 2030 и 2031 годах долж­ны быть равны;

—  к июлю 2031 года долг дол­жен быть вы­пла­чен пол­но­стью.

Най­ди­те раз­ни­цу между пер­вым и по­след­ним пла­те­жа­ми.

Бис­сек­три­са BB₁ и вы­со­та CC₁ тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют опи­сан­ную окруж­ность в точ­ках М и N. Из­вест­но, что и

а)  До­ка­жи­те, что CN  =  BМ.

б)  Пусть MN и ВС пе­ре­се­ка­ют­ся в точке D. Найти пло­щадь тре­уголь­ни­ка BDN, если его вы­со­та ВН равна 7.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

По кругу рас­став­ле­но N раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 425. Сумма любых четырёх иду­щих под­ряд чисел де­лит­ся на 4, а сумма любых трёх иду­щих под­ряд чисел нечётна.

а)  Может ли N быть рав­ным 280?

б)  Может ли N быть рав­ным 149?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние N.