а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ все ребра равны. Через се­ре­ди­ны ребер AB и CC₁ про­ве­де­на плос­кость α. Тан­генс угла на­кло­на плос­ко­сти α к ос­но­ва­нию равен

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит одно из ребер ос­но­ва­ния A₁B₁C₁ по­по­лам.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов, на ко­то­рые плос­кость α делит приз­му ABCA₁B₁C₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В банке бе­рет­ся кре­дит 12 600 000 руб­лей под 20% го­до­вых. Пла­те­жи по кре­ди­ту вно­сят­ся еже­год­но после на­чис­ле­ния про­цен­тов и раз­мер еже­год­ных пла­те­жей таков, что сумма долга каж­дый год, на­чи­ная со вто­ро­го, умень­ша­ет­ся на ве­ли­чи­ну, в два раза боль­шую, чем в преды­ду­щий год. Общая сумма пла­те­жей после пол­но­го по­га­ше­ния долга ока­за­лась равна 25 440 000 руб­лей. На сколь­ко лет взяли кре­дит?

Точка F лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны BC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD за точку C. От­ре­зок AF пе­ре­се­ка­ет диа­го­наль BD в точке E и сто­ро­ну CD в точке G. Из­вест­но, что от­ре­зок AE на 1 длин­нее от­рез­ка EG, а от­ре­зок GF равен 3.

а)  До­ка­жи­те, что G  — се­ре­ди­на CD.

б)  Какую часть пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD со­став­ля­ет пло­щадь тре­уголь­ни­ка ADE?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два ре­ше­ния на от­рез­ке

Обо­зна­чим через s(n) сумму цифр на­ту­раль­но­го числа n. Трех­знач­ное число n будем на­зы­вать хо­ро­шим, если n де­лит­ся на s(n).

а)  Чему равно наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние част­но­го для хо­ро­ше­го числа?

б)  Чему равно наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние част­но­го для хо­ро­ше­го числа?

в)  Может ли для хо­ро­ше­го числа быть