СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 504548

По кругу в некотором порядке по одному разу написаны натуральные числа от 9 до 18. Для каждой из десяти пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель.

а) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1?

б) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители попарно различны?

в) Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей могло при этом получиться?

Ре­ше­ние.

а) Да, могло. На­при­мер, если числа за­пи­са­ны в по­ряд­ке 9, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 18, 17, 10.

б) Всего по кругу за­пи­са­но 10 чисел. Для каж­дой пары со­сед­них чисел мы ищем наи­боль­ший общий де­ли­тель, сле­до­ва­тель­но, по­лу­чим 10 наи­боль­ших общих де­ли­те­лей. Если они все по­пар­но раз­лич­ны, то хотя бы один из них не мень­ше 10. Но та­ко­го быть не может, так как для дан­ных чисел наи­боль­ший из все­воз­мож­ных наи­боль­ших общих де­ли­те­лей есть НОД(18, 9) = 9.

в) Числа 11, 13 и 17 яв­ля­ют­ся про­сты­ми, наи­боль­шие общие де­ли­те­ли этих чисел со всеми осталь­ны­ми чис­ла­ми рав­ня­ют­ся 1. Каж­дое из чисел имеет двух со­се­дей, сле­до­ва­тель­но, хотя бы два числа из этих трёх будут иметь по край­ней мере од­но­го со­се­да, от­лич­но­го от этих трёх чисел. Таким об­ра­зом, хотя бы че­ты­ре из всех наи­боль­ших общих де­ли­те­лей будут рав­нять­ся 1, то есть сов­па­дать. Сле­до­ва­тель­но, не может быть боль­ше, чем семь по­пар­но раз­лич­ных наи­боль­ших общих де­ли­те­лей, по­сколь­ку всего их де­сять, причём че­ты­ре сов­па­да­ют. Для рас­ста­нов­ки 9, 18, 12, 16, 14, 13, 11, 17, 10, 15 по­лу­ча­ет­ся ровно 7 по­пар­но раз­лич­ных наи­боль­ших общих де­ли­те­лей.

 

Ответ: а) Да; б) нет; в) семь.


Аналоги к заданию № 504548: 504569 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства, Числа и их свойства