Каж­дое из четырёх под­ряд иду­щих на­ту­раль­ных чисел раз­де­ли­ли на их пер­вые цифры и ре­зуль­та­ты сло­жи­ли в сумму S.

а)  Может ли быть ?

б)  Может ли быть ?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее целое S, если все че­ты­ре числа лежат в от­рез­ке от 400 до 999 вклю­чи­тель­но.

Даны че­ты­ре по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных числа. Каж­дое из чисел по­де­ли­ли на одну из его цифр, не рав­ную нулю, а затем че­ты­ре по­лу­чен­ных ре­зуль­та­та сло­жи­ли.

а)  Может ли по­лу­чен­ная сумма рав­нять­ся 386?

б)  Может ли по­лу­чен­ная сумма рав­нять­ся 9,125?

в)  Какое наи­боль­шее целое зна­че­ние может при­ни­мать по­лу­чен­ная сумма, если из­вест­но, что каж­дое из ис­ход­ных чисел не мень­ше 200 и не боль­ше 699?

Каж­дое из че­ты­рех по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел, по­след­няя цифра ко­то­рых не равна нулю, раз­де­ли­ли на его по­след­нюю цифру. По­лу­чен­ные ре­зуль­та­ты сло­жи­ли и на­зва­ли S. Тогда:

а) может ли

б) может ли

в) если числа были трех­знач­ные, то какое наи­боль­шее целое зна­че­ние S могло по­лу­чить­ся?

По кругу рас­став­ле­но N раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 425. Сумма любых четырёх иду­щих под­ряд чисел де­лит­ся на 4, а сумма любых трёх иду­щих под­ряд чисел нечётна.

а)  Может ли N быть рав­ным 280?

б)  Может ли N быть рав­ным 149?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние N.

Есть че­ты­ре ко­роб­ки: в пер­вой ко­роб­ке 101 ка­мень, во вто­рой  — 102, в тре­тьей  — 103, а в четвёртой ко­роб­ке кам­ней нет. За один ход берут по од­но­му камню из любых трёх ко­ро­бок и кла­дут в остав­шу­ю­ся. Сде­ла­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство таких ходов.

а)  Могло ли в пер­вой ко­роб­ке ока­зать­ся 97 кам­ней, во вто­рой  — 102, в тре­тьей  — 103, а в четвёртой  — 4?

б)  Могло ли в четвёртой ко­роб­ке ока­зать­ся 306 кам­ней?

в)  Какое наи­боль­шее число кам­ней могло ока­зать­ся в пер­вой ко­роб­ке?

Есть че­ты­ре ко­роб­ки: в пер­вой ко­роб­ке 121 ка­мень, во вто­рой  — 122, в тре­тьей  — 123, а в четвёртой ко­роб­ке кам­ней нет. За один ход берут по од­но­му камню из любых трёх ко­ро­бок и кла­дут в остав­шу­ю­ся. Сде­ла­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство таких ходов.

а)  Могло ли в пер­вой ко­роб­ке ока­зать­ся 121 кам­ней, во вто­рой  — 122, в тре­тье  — 119, а в четвёртой  — 4?

б)  Могло ли в четвёртой ко­роб­ке ока­зать­ся 366 кам­ней?

в)  Какое наи­боль­шее число кам­ней могло ока­зать­ся в пер­вой ко­роб­ке?

Име­ют­ся три ко­роб­ки: в пер­вой  — 97 кам­ней, во вто­рой  — 104 камня, в тре­тьей ко­роб­ке кам­ней нет. За один ход берут по од­но­му камню из любых двух ко­ро­бок и кла­дут в остав­шу­ю­ся. Сде­ла­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство таких ходов.

а)  Может ли в пер­вой ко­роб­ке ока­зать­ся 97 кам­ней, во вто­рой  — 89, в тре­тьей  — 15?

б)  Может ли в тре­тьей ко­роб­ке ока­зать­ся 201 ка­мень?

в)  Из­вест­но, что в пер­вой ко­роб­ке ока­зал­ся 1 ка­мень. Какое наи­боль­шее число кам­ней могло ока­зать­ся в тре­тьей ко­роб­ке?

С трёхзнач­ным чис­лом про­из­во­дят сле­ду­ю­щую опе­ра­цию: вы­чи­та­ют из него сумму его цифр, а затем по­лу­чив­шу­ю­ся раз­ность делят на 3.

а)  Могло ли в ре­зуль­та­те такой опе­ра­ции по­лу­чить­ся число 300?

б)  Могло ли в ре­зуль­та­те такой опе­ра­ции по­лу­чить­ся число 151?

в)  Сколь­ко раз­лич­ных чисел может по­лу­чить­ся в ре­зуль­та­те такой опе­ра­ции из чисел от 100 до 600 вклю­чи­тель­но?

С трёхзнач­ным чис­лом про­из­во­дят сле­ду­ю­щую опе­ра­цию: вы­чи­та­ют из него сумму его цифр, а затем по­лу­чив­шу­ю­ся раз­ность делят на 3.

а)  Могло ли в ре­зуль­та­те такой опе­ра­ции по­лу­чить­ся число 201?

б)  Могло ли в ре­зуль­та­те такой опе­ра­ции по­лу­чить­ся число 251?

в)  Сколь­ко раз­лич­ных чисел может по­лу­чить­ся в ре­зуль­та­те такой опе­ра­ции из чисел от 600 до 999 вклю­чи­тель­но?

На доске на­пи­са­но N раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 99. Для любых двух на­пи­сан­ных на доске чисел a и b, таких, что a < b, ни одно из на­пи­сан­ных чисел не де­лит­ся на b – a, и ни одно из на­пи­сан­ных чисел не яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа b – a.

а)  Могли ли на доске быть на­пи­са­ны какие-то два числа из чисел 18, 19 и 20?

б)  Среди на­пи­сан­ных на доске чисел есть 17. Может ли N быть равно 25?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние N.

На доске на­пи­са­но N раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 159. Для любых двух на­пи­сан­ных на доске чисел a и b, таких, что a < b, ни одно из на­пи­сан­ных чисел не де­лит­ся на b – a, и ни одно из на­пи­сан­ных чисел не яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа b – a.

а)  Могли ли на доске быть на­пи­са­ны какие-то два числа из чисел 28, 29 и 30?

б)  Среди на­пи­сан­ных на доске чисел есть 13. Может ли N быть равно 20?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние N.

На доске на­пи­са­но N раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 27. Для каж­дых двух на­пи­сан­ных чисел a и b таких, что ни одно из на­пи­сан­ных чисел не де­лит­ся на b – a и ни одно из на­пи­сан­ных чисел не яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа b – a.

а)  Могли ли на доске быть на­пи­са­ны какие-то два числа из чисел 4, 5, 6?

б)  Среди на­пи­сан­ных на доске чисел есть 5. Может ли N быть рав­ным 7?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние N.

У юве­ли­ра есть 38 по­лу­дра­го­цен­ных кам­ней, масса каж­до­го из ко­то­рых  — целое число грам­мов, не мень­шее 100 (не­ко­то­рые камни могут иметь рав­ную массу). Эти камни рас­пре­де­ли­ли по трем кучам: в пер­вой куче n₁ кам­ней, во вто­рой  — n₂ кам­ней, в тре­тьей  — n₃ кам­ней, при­чем n₁ < n₂ < n₃. Сум­мар­ная масса (в грам­мах) кам­ней в пер­вой куче равна S₁, во вто­рой  — S₂, а в тре­тьей  — S₃.

а)  Может ли вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство S₁ > S₂ > S₃?

б)  Может ли вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство S₁ > S₂ > S₃, если масса лю­бо­го камня не пре­вос­хо­дит 108 грам­мов?

в)  Из­вест­но, что масса лю­бо­го камня не пре­вос­хо­дит k грам­мов. Най­ди­те наи­мень­шее целое зна­че­ние k, для ко­то­ро­го может вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство S₁ > S₂ > S₃.

У юве­ли­ра есть 47 по­лу­дра­го­цен­ных кам­ней, масса каж­до­го из ко­то­рых  — целое число грам­мов, не мень­шее 100 (не­ко­то­рые камни могут иметь рав­ную массу). Эти камни рас­пре­де­ли­ли по трем кучам: в пер­вой куче n₁ кам­ней, во вто­рой  — n₂ кам­ней, в тре­тьей  — n₃ кам­ней, при­чем n₁ < n₂ < n₃. Сум­мар­ная масса (в грам­мах) кам­ней в пер­вой куче равна S₁, во вто­рой  — S₂, а в тре­тьей  — S₃.

а)  Может ли вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство S₁ > S₂ > S₃?

б)  Может ли вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство S₁ > S₂ > S₃, если масса лю­бо­го камня не пре­вос­хо­дит 105 грам­мов?

в)  Из­вест­но, что масса лю­бо­го камня не пре­вос­хо­дит k грам­мов. Най­ди­те наи­мень­шее целое зна­че­ние k, для ко­то­ро­го может вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство S₁ > S₂ > S₃.

На доске на­пи­са­но не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Дроб­ная часть сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го этих чисел равна 0,32 (то есть если вы­честь из сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го этих чисел 0,32, то по­лу­чит­ся целое число).

а)  Могло ли на доске быть на­пи­са­но мень­ше 100 чисел?

б)  Могло ли на доске быть на­пи­са­но мень­ше 20 чисел?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го этих чисел.