ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Тип 19 № 510692

i

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию $левая круглая скобка n больше или равно 3 правая круглая скобка .$

а)  Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?

б)  Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?

в)  Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 510698

i

Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1000 кг и 60 штук по 1500 кг (раскалывать глыбы нельзя).

а)  Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

б)  Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

в)  Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 510705

i

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а)  Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

б)  Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22?

в)  Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 510711

i

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а)  Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8.

б)  Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22?

в)  Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 510723

i

а)  Чему равно число способов записать число 1292 в виде $1292 = a_3 умножить на 10 в кубе плюс a_2 умножить на 10 в квадрате плюс a_1 умножить на 10 плюс a_0,$ где числа $a_i$   — целые, $0 меньше или равно a_i меньше или равно 99, i=0;1;2;3?$

б)  Существуют ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде $N = a_3 умножить на 10 в кубе плюс a_2 умножить на 10 в квадрате плюс a_1 умножить на 10 плюс a_0,$ где числа $a_i$   — целые, $0 меньше или равно a_i меньше или равно 99, i=0;1;2;3,$ ровно 130 способами?

в)  Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в виде $N = a_3 умножить на 10 в кубе плюс a_2 умножить на 10 в квадрате плюс a_1 умножить на 10 плюс a_0,$ где числа $a_i$   — целые, $0 меньше или равно a_i меньше или равно 99, i=0;1;2;3,$ ровно 130 способами?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 510730

i

Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а)  На доске выписан набор −11, −7, −5, −4, −1, 2, 6. Какие числа были задуманы?

б)  Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в)  Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 510738

i

Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а)  На доске выписан набор −6, −2, 1, 4, 5, 7, 11. Какие числа были задуманы?

б)  Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 7 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в)  Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 510746

i

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).

а)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 12?

б)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 87?

в)  Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 510754

i

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).

а)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 20?

б)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 81?

в)  Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 510760

i

Каждое из чисел a₁, a₂, …, a₃₅₀ равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

$S_1 = a_1 плюс a_2 плюс a_3 плюс \ldots плюс a_350,$

$S_2 = a_1 в квадрате плюс a_2 в квадрате плюс a_3 в квадрате плюс \ldots плюс a в квадрате _350,$

$S_3 = a_1 в кубе плюс a_2 в кубе плюс a_3 в кубе плюс \ldots плюс a в кубе _350,$

$S_4 = a_1 в степени 4 плюс a_2 в степени 4 плюс a_3 в степени 4 плюс \ldots плюс a в степени 4 _350.$

Известно, что S₁  =  513.

а)  Найдите S₄, если еще известно, что S₂  =  1097 и S₃  =  3243.

б)  Может ли S₄  =  4547?

в)  Пусть S₄  =  4745. Найдите все значения, которые может принимать S₂.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 510767

i

Каждое из чисел a₁, a₂, …, a₄₅₀ равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

S₁  =  a₁+a₂+...+a₄₅₀,

S₂  =  a₁²+a₂²+...+a₄₅₀²,

S₃  =  a₁³+a₂³+...+a₄₅₀³,

S₄  =  a₁⁴+a₂⁴+...+a₄₅₀⁴.

Известно, что S₁  =  739.

а)  Найдите S₄, если еще известно, что S₂  =  1779, S₃  =  5611.

б)  Может ли S₄  =  6547 ?

в)  Пусть S₄  =  6435. Найдите все значения, которые может принимать S₂.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 510773

i

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?

б)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?

в)  Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 510779

i

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?

б)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?

в)  Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 510785

i

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию $левая круглая скобка n\geqslant3 правая круглая скобка .$

а)  Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?

б)  Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?

в)  Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 510791

i

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию $левая круглая скобка n больше или равно 3 правая круглая скобка .$

а)  Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?

б)  Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?

в)  Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013

Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013