Вася и Петя ре­ша­ли за­да­чи из сбор­ни­ка, и они оба ре­ши­ли все за­да­чи этого сбор­ни­ка. Каж­дый день Вася решал на одну за­да­чу боль­ше, чем в преды­ду­щий день, а Петя решал на две за­да­чи боль­ше, чем в преды­ду­щий день. Они на­ча­ли ре­шать за­да­чи в один день, при этом в пер­вый день каж­дый из них решил хотя бы одну за­да­чу.

а)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что Вася в пер­вый день решил на одну за­да­чу мень­ше, чем Петя, а Петя решил все за­да­чи из сбор­ни­ка ровно за 5 дней?

б)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что Вася в пер­вый день решил на одну за­да­чу боль­ше, чем Петя, а Петя решил все за­да­чи из сбор­ни­ка ровно за 4 дня?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство задач могло быть в сбор­ни­ке если каж­дый из ребят решал за­да­чи более 6 дней, при­чем в пер­вый день один из маль­чи­ков решил на одну за­да­чу боль­ше чем дру­гой?

Вася и Петя ре­ша­ли за­да­чи из сбор­ни­ка, при­чем каж­дый сле­ду­ю­щий день Вася решал на одну за­да­чу боль­ше, чем в преды­ду­щий, а Петя  — на две за­да­чи боль­ше, чем в преды­ду­щий. В пер­вый день каж­дый решил хотя бы одну за­да­чу, а в итоге каж­дый решил все за­да­чи сбор­ни­ка.

а)  Могло ли быть в сбор­ни­ке 85 задач?

б)  Могло ли быть в сбор­ни­ке 213 задач, если каж­дый из маль­чи­ков решал их более трех дней?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство дней мог ре­шать за­да­чи Петя, если Вася решил весь сбор­ник за 16 дней, а ко­ли­че­ство задач в сбор­ни­ке мень­ше 300.

Вася и Петя ре­ша­ют за­да­чи из сбор­ни­ка. Они на­ча­ли ре­шать за­да­чи в один и тот же день, и ре­ши­ли в этот день хотя бы по одной за­да­че каж­дый. Вася решал в каж­дый сле­ду­ю­щий день на одну за­да­чу боль­ше, чем в преды­ду­щий, а Петя  — на две за­да­чи боль­ше, чем преды­ду­щий день. В итоге каж­дый из них решил все за­да­чи из сбор­ни­ка.

а)  Могло ли быть так, что в пер­вый день они ре­ши­ли оди­на­ко­вое число задач, при этом Петя про­ре­шал весь сбор­ник за пять дней?

б)  Могло ли быть так, что в пер­вый день они ре­ши­ли оди­на­ко­вое число задач, при этом Петя про­ре­шал весь сбор­ник за де­сять дней?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство задач могло быть в сбор­ни­ке, если каж­дый из ребят решал за­да­чи более 6 дней, при­чем в пер­вый день Вася решил боль­ше задач чем Петя, а за 7 дней Петя решил задач боль­ше, чем Вася?

Го­то­вясь к эк­за­ме­ну, Вася и Петя ре­ша­ли за­да­чи из сбор­ни­ка, и каж­дый из них решил все за­да­чи этого сбор­ни­ка. Каж­дый день Вася решал на одну за­да­чу боль­ше, чем в преды­ду­щий день, а Петя решал на две за­да­чи боль­ше, чем в преды­ду­щий день. Они на­ча­ли ре­шать за­да­чи в один день, при этом в пер­вый день каж­дый из них решил хотя бы одну за­да­чу.

а)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что каж­дый из них решил все за­да­чи сбор­ни­ка ровно за 5 дней?

б)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что каж­дый из них решил все за­да­чи сбор­ни­ка ровно за 10 дней?

в)  Какое наи­мень­шее число задач могло быть в сбор­ни­ке, если из­вест­но, что каж­дый из них решал за­да­чи более 6 дней, в пер­вый день Вася решил боль­ше задач, чем Петя, а за семь дней Петя решил боль­ше задач, чем Вася?

Склад пред­став­ля­ет собой пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед с це­лы­ми сто­ро­на­ми, кон­тей­не­ры  — пря­мо­уголь­ные па­рал­ле­ле­пи­пе­ды с раз­ме­ра­ми 1×1×3 м. Кон­тей­не­ры на скла­де можно класть как угод­но, но па­рал­лель­но гра­ни­цам скла­да.

а)  Может ли ока­зать­ся, что пол­но­стью за­пол­нить склад раз­ме­ром 120 ку­бо­мет­ров нель­зя?

б)  Может ли ока­зать­ся, что на склад объ­е­мом 100 ку­бо­мет­ров не удаст­ся по­ме­стить 33 кон­тей­не­ра?

в)  Пусть объем скла­да равен 800 ку­бо­мет­ров. Какой про­цент объ­е­ма та­ко­го скла­да удаст­ся га­ран­ти­ро­ва­но за­пол­нить кон­тей­не­ра­ми при любой кон­фи­гу­ра­ции скла­да?

По­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел (a_n) со­сто­ит из 400 чле­нов. Каж­дый член по­сле­до­ва­тель­но­сти, на­чи­ная со вто­ро­го, либо вдвое боль­ше преды­ду­ще­го, либо на 98 мень­ше преды­ду­ще­го.

а)  Может ли по­сле­до­ва­тель­ность (a_n) со­дер­жать ровно 5 раз­лич­ных чисел?

б)  Чему может рав­нять­ся если

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать наи­боль­ший член по­сле­до­ва­тель­но­сти (a_n)?

Есть синие и крас­ные кар­точ­ки. Всего кар­то­чек 50 штук. На каж­дой кар­точ­ке на­пи­са­но на­ту­раль­ное число. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел равно 16. Все числа на синих кар­точ­ках раз­ные. При этом любое число на синей кар­точ­ке боль­ше, чем любое на крас­ной. Числа на синих уве­ли­чи­ли в 2 раза, после чего сред­нее ариф­ме­ти­че­ское стало равно 31,2.

а)  Может ли быть 10 синих кар­то­чек?

б)  Может ли быть 10 крас­ных кар­то­чек?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство синих кар­то­чек может быть?

В ящике лежат 73 овоща, масса каж­до­го из ко­то­рых вы­ра­жа­ет­ся целым чис­лом грам­мов. В ящике есть хотя бы два овоща раз­лич­ной массы, а сред­няя масса всех ово­щей равна 1000 г. Сред­няя масса ово­щей , масса каж­до­го из ко­то­рых мень­ше 1000 г, равна 988 г. Сред­няя масса ово­щей, масса каж­до­го из ко­то­рых боль­ше 1000 г, равна 1030 г.

а)  Могло ли в ящике ока­зать­ся по­ров­ну ово­щей мас­сой мень­ше 1000 г и ово­щей мас­сой боль­ше 1000 г?

б)  Могло ли в ящике ока­зать­ся ровно 11 ово­щей, масса каж­до­го из ко­то­рых равна 1000 г?

в)  Какую наи­мень­шую массу может иметь овощ в этом ящике?

В ящике лежат 68 ово­щей, масса каж­до­го из ко­то­рых вы­ра­жа­ет­ся целым чис­лом грам­мов. В ящике есть хотя бы два овоща раз­лич­ной массы, а сред­няя масса всех ово­щей равна 1000 г. Сред­няя масса ово­щей , масса каж­до­го из ко­то­рых мень­ше 1000 г, равна 944 г. Сред­няя масса ово­щей, масса каж­до­го из ко­то­рых боль­ше 1000 г, равна 1016 г.

а)  Могло ли в ящике ока­зать­ся по­ров­ну ово­щей мас­сой мень­ше 1000 г и ово­щей мас­сой боль­ше 1000 г?

б)  Могло ли в ящике ока­зать­ся ровно 15 ово­щей, масса каж­до­го из ко­то­рых равна 1000 г?

в)  Какую наи­мень­шую массу может иметь овощ в этом ящике?

В ящике лежат 65 ово­щей, масса каж­до­го из ко­то­рых вы­ра­жа­ет­ся целым чис­лом грам­мов. В ящике есть хотя бы два овоща раз­лич­ной массы, а сред­няя масса всех ово­щей равна 1000 г. Сред­няя масса ово­щей, масса каж­до­го из ко­то­рых мень­ше 1000 г, равна 982 г. Сред­няя масса ово­щей, масса каж­до­го из ко­то­рых боль­ше 1000 г, равна 1024 г.

а)  Могло ли в ящике ока­зать­ся по­ров­ну ово­щей мас­сой мень­ше 1000 г и ово­щей мас­сой боль­ше 1000 г?

б)  Могло ли в ящике ока­зать­ся ровно 13 ово­щей, масса каж­до­го из ко­то­рых равна 1000 г?

в)  Какую наи­мень­шую массу может иметь овощ в этом ящике?

В те­че­ние n дней каж­дый день на доску за­пи­сы­ва­ют на­ту­раль­ные числа, каж­дые из ко­то­рых мень­ше 6. При этом каж­дый день (кроме пер­во­го) сумма чисел, за­пи­сан­ных на доску в этот день, боль­ше, а ко­ли­че­ство чисел мень­ше, чем в преды­ду­щий день.

а)  Из­вест­но, что сумма чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, равна 8. Может ли n быть боль­ше 7?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, быть мень­ше 4, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел, за­пи­сан­ных за все дни, быть боль­ше 4,5?

в)  Из­вест­но, что Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел могло быть за­пи­са­но за все эти дни?

В те­че­ние n дней каж­дый день на доску за­пи­сы­ва­ют на­ту­раль­ные числа, каж­дое из ко­то­рых мень­ше 6. При этом каж­дый день (кроме пер­во­го) сумма чисел, за­пи­сан­ных на доску в этот день, боль­ше, а ко­ли­че­ство мень­ше, чем в преды­ду­щий день.

а)  Из­вест­но, что сумма чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, равна 7. Может ли n быть боль­ше 6?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, быть мень­ше 2, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел, за­пи­сан­ных за все дни, быть боль­ше 2,5?

в)  Из­вест­но, что n  =  6. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел могло быть за­пи­са­но за все эти дни?

Пять раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел та­ко­вы, что ни­ка­кие два не имеют об­ще­го де­ли­те­ля, боль­ше­го 1.

а)  Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 26?

б)  Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 23?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма всех пяти чисел?

Не­сколь­ко экс­пер­тов оце­ни­ва­ют не­сколь­ко ки­но­филь­мов. Каж­дый из них вы­став­ля­ет оцен­ку каж­до­му ки­но­филь­му  — целое число бал­лов от 1 до 10 вклю­чи­тель­но. Из­вест­но, что каж­до­му ки­но­филь­му все экс­пер­ты вы­ста­ви­ли раз­лич­ные оцен­ки. Рей­тинг ки­но­филь­ма  — это сред­нее гео­мет­ри­че­ское оце­нок всех экс­пер­тов. Сред­нее гео­мет­ри­че­ское чисел равно Ока­за­лось, что рей­тин­ги всех ки­но­филь­мов  — раз­лич­ные целые числа.

а)  Могло ли быть 2 экс­пер­та и 5 ки­но­филь­мов?

б)  Могло ли быть 3 экс­пер­та и 4 ки­но­филь­ма?

в)  При каком наи­боль­шем ко­ли­че­стве экс­пер­тов опи­сан­ная си­ту­а­ция воз­мож­на для од­но­го ки­но­филь­ма?

Квад­рат­ное урав­не­ние имеет два раз­лич­ных на­ту­раль­ных корня.

а)  Пусть Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния p.

б)  Пусть Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния q.

в)  Пусть Най­ди­те все воз­мож­ные корни ис­ход­но­го урав­не­ния.

Квад­рат­ное урав­не­ние имеет два раз­лич­ных на­ту­раль­ных корня.

а)  Пусть Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния p.

б)  Пусть Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния q.

в)  Пусть Най­ди­те все воз­мож­ные корни ис­ход­но­го урав­не­ния.

Склад имеет форму пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, длины рёбер ко­то­ро­го вы­ра­жа­ют­ся це­лы­ми чис­ла­ми. Этот склад за­пол­ня­ют кон­тей­не­ра­ми раз­ме­ром 1×1×3. При этом кон­тей­не­ры можно рас­по­ла­гать как угод­но, но их грани долж­ны быть па­рал­лель­ны гра­ням скла­да.

а)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что склад объёмом 150 не­воз­мож­но пол­но­стью за­пол­нить кон­тей­не­ра­ми?

б)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что на скла­де объёмом 400 не­воз­мож­но раз­ме­стить 133 кон­тей­не­ра?

в)  Какой наи­боль­ший про­цент объёма лю­бо­го скла­да объёмом не менее 200 га­ран­ти­ро­ван­но удаст­ся за­пол­нить кон­тей­не­ра­ми?

По­сле­до­ва­тель­ность (a_n) со­сто­ит из 100 на­ту­раль­ных чисел. Каж­дый сле­ду­ю­щий член по­сле­до­ва­тель­но­сти, на­чи­ная со вто­ро­го, либо вдвое мень­ше преды­ду­ще­го, либо боль­ше него на 90.

а)  Может ли такая по­сле­до­ва­тель­ность быть об­ра­зо­ва­на ровно че­тырь­мя раз­лич­ны­ми чис­ла­ми?

б)  Чему может быть равно а₁₀₀, если a₁  =  89?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать самое боль­шое из чисел в такой по­сле­до­ва­тель­но­сти?