На доске написано n чисел ai (i = 1, 2, …, n). Каждое из них не меньше 50 и не больше 150. Каждое из этих чисел уменьшают на ri%. При этом либо ri = 2%, либо число ai уменьшается на 2, то есть становится равным ai − 2 (какие-то числа уменьшились на число 2, а какие-то — на 2 процента).
а) Может ли среднее арифметическое чисел r1, r2, …, rn быть равным 5?
б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел r1, r2, …, rn больше 2, при этом сумма чисел a1, a2 … an уменьшилась более чем на 2n?
в) Пусть всего чисел 30, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел r1, r2, …, rn.
a) Пусть число ai уменьшили на 2. Тогда его уменьшили на 
Следовательно, 
Поскольку 
для всех i, то 
и их среднее арифметическое также не превосходит 4. Поэтому оно не может равняться 5.
б) Рассмотрим два числа: 50 и 150. Если число 50 уменьшить на 2 
и 
Их среднее арифметическое равно 3, что больше 2. При этом сумма чисел уменьшилась на 5, что больше, чем 
в) Пусть k чисел из 30 уменьшили на 2, а остальные 
уменьшили на 
Поскольку каждое число не меньше 50, каждое из чисел уменьшили по крайней мере на 1 (
от 50 равно 1). Таким образом, сумму всех тридцати чисел уменьшили по крайней мере на 
По условию, сумму уменьшили ровно на 40. Следовательно, 
откуда 
Напомним, что если число ai уменьшили на 2, то его уменьшили на 
и поскольку 
то 
Значит,
Приведём пример набора из 30 чисел, для которого среднее арифметическое чисел 
равно 
Пусть все числа равны 50, и пусть 10 из этих чисел уменьшили на 2 
), а каждое из оставшихся двадцати чисел уменьшили на Тогда
Ответ: а) нет; б) да; в) 