СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 516406

Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140.

а) Существуют ли двадцать последовательных четырёхзначных чисел, среди которых нет ни одного очень счастливого числа?

б) Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2016?

в) Найдите наименьшее нечётное число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.

Решение.

а) Примером таких чисел являются

б) Предположим, что это возможно. Пусть — десятичная запись меньшего из этих двух очень счастливых чисел, а — десятичная запись большего из них. Из условия следует, что либо , либо Отсюда получаем, что , либо Значит, число даёт при делении на 9 или остаток 7, или остаток 6.

Также из условия следует, что либо , либо Отсюда получаем, что либо , либо Значит, число даёт при делении на 9 или остаток 2, или остаток 3. Приходим к противоречию, так как по условию

в) Покажем, что искомое число равно 11. Для этого сначала приведём пример очень счастливого четырёхзначного числа, кратного Число 1890 кратно

Пусть — десятичная запись какого-либо очень счастливого числа, кратного 11. Тогда

Получаем, что число кратно 11. Поскольку и — цифры, отсюда следует, что либо , либо , либо

В первом случае имеем и Вычитая эти равенства, получаем: , т. е. — противоречие. Во втором случае имеем и Вычитая эти равенства, получаем , т. е. , — тоже противоречие, так как 11 не кратно 2. Аналогичное противоречие получается и в третьем случае. Значит, не существует очень счастливых четырёхзначных чисел, кратных 11.

 

Ответ: а) Да, например, ; б) нет; в) 11.


Аналоги к заданию № 512404: 516406 516386 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства, Числа и их свойства