а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да SABC, M  — се­ре­ди­на AB, N  — се­ре­ди­на CS.

а)  До­ка­жи­те, что про­ек­ции от­рез­ков MN и AS на плос­кость ABC равны.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды SABC, если AS  =  8, MN  =  5.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C впи­сан в окруж­ность. Бис­сек­три­са угла A пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную окруж­ность в точке A₁, бис­сек­три­са угла  B пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную окруж­ность в точке B₁, бис­сек­три­са угла  C пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную окруж­ность в точке C₁.

a) До­ка­жи­те, что угол A₁BB₁  =  45°.

б)  Из­вест­но, что Най­ди­те B₁C₁.

Был выдан кре­дит на 550000 руб­лей. Из­вест­но, что банк каж­дый год уве­ли­чи­ва­ет сумму кре­ди­та на 20 про­цен­тов, после чего про­ис­хо­дит пла­теж. Кре­дит был пол­но­стью вы­пла­чен за 2 года, при­чем пла­те­жи были рав­ны­ми. Най­ди­те общую сумму, вы­пла­чен­ную кли­ен­том банку.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых си­сте­ма

имеет ровно 2 ре­ше­ния.

Де­сять маль­чи­ков и семь де­во­чек пошли в лес за гри­ба­ми. Из­вест­но, что любые две де­воч­ки на­бра­ли боль­ше гри­бов, чем любые три маль­чи­ка, но любые пять маль­чи­ков на­бра­ли боль­ше гри­бов, чем любые три де­воч­ки.

а)  Может ли так слу­чить­ся, что какая-⁠то де­воч­ка на­бра­ла мень­ше гри­бов, чем какой-⁠ни­будь маль­чик?

б)  Может ли так слу­чить­ся, что ко­ли­че­ство най­ден­ных гри­бов у всех детей будет раз­лич­ным?

в)  Най­ди­те ми­ни­маль­ное воз­мож­ное ко­ли­че­ство гри­бов, со­бран­ное всеми детьми сум­мар­но.