От­рез­ки AC и BD  — диа­мет­ры окруж­но­сти с цен­тром O. Угол ACB равен 41°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла AOD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Даны век­то­ры и Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние

Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы, объем ко­то­рой равен 52, про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те объем от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы.

В сбор­ни­ке би­ле­тов по гео­гра­фии всего 50 би­ле­тов, в пят­на­дца­ти из них встре­ча­ет­ся во­прос по теме «Стра­ны Аф­ри­ки». Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по теме «Стра­ны Аф­ри­ки».

В тор­го­вом цен­тре два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та про­да­ют кофе. Ве­ро­ят­ность того, что к концу дня в ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе, равна 0,1. Ве­ро­ят­ность того, что кофе за­кон­чит­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 0,03. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к концу дня кофе оста­нет­ся в обоих ав­то­ма­тах.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик   — про­из­вод­ной функ­ции На оси абс­цисс от­ме­че­но один­на­дцать точек: Сколь­ко из этих точек при­над­ле­жит про­ме­жут­кам убы­ва­ния функ­ции

Ав­то­мо­биль, дви­жу­щий­ся со ско­ро­стью начал тор­мо­же­ние с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем За t се­кунд после на­ча­ла тор­мо­же­ния он прошёл путь (м). Опре­де­ли­те время, про­шед­шее с мо­мен­та на­ча­ла тор­мо­же­ния, если из­вест­но, что за это время ав­то­мо­биль про­ехал 90 мет­ров. Ответ дайте в се­кун­дах.

От при­ста­ни A к при­ста­ни B, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 168 км, от­пра­вил­ся с по­сто­ян­ной ско­ро­стью пер­вый теп­ло­ход, а через 2 часа после этого сле­дом за ним, со ско­ро­стью на 2  км/ч боль­шей, от­пра­вил­ся вто­рой. Най­ди­те ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да, если в пункт В оба теп­ло­хо­да при­бы­ли од­но­вре­мен­но. Ответ дайте в км/ч.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все его корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ на се­ре­ди­нах рёбер A₁C₁ и BC от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость AB₁M делит от­ре­зок A₁N в от­но­ше­нии 2 : 3, счи­тая от вер­ши­ны A₁.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды AMNB₁, если сто­ро­на ос­но­ва­ния приз­мы равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 4.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2016 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на че­ты­ре года в раз­ме­ре S млн руб­лей, где S  — целое число. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 15% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — в июле каж­до­го года долг дол­жен со­став­лять часть кре­ди­та в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние S, при ко­то­ром общая сумма вы­плат будет мень­ше 50 млн руб­лей.

В тре­уголь­ни­ке АВС угол АВС равен 60°. Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник, ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что от­ре­зок BM не боль­ше утро­ен­но­го ра­ди­у­са впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те если из­вест­но, что от­ре­зок ВМ в 2,8 раза боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [4; 8].

В про­дук­то­вом ма­га­зи­не есть весы с двумя ча­ша­ми. На одну чашу весов кла­дут толь­ко про­дук­ты, на дру­гую  — гири. На чашу для гирь можно по­ло­жить не­сколь­ко гирь. Ма­га­зи­ну раз­ре­ше­но про­да­вать толь­ко целое число ки­ло­грам­мов про­дук­тов.

а)  Можно ли не­ко­то­рым на­бо­ром из пяти гирь от­ве­сить любое целое число ки­ло­грам­мов от 1 до 25?

б)  Можно ли не­ко­то­рым на­бо­ром из че­ты­рех гирь от­ве­сить любое целое число ки­ло­грам­мов от 1 до 25?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние n такое, что любой вес от 1 до n ки­ло­грам­мов можно от­ве­сить каким-ни­будь на­бо­ром из 5 гирь.