Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 19 № 551767
i

По­сле­до­ва­тель­ность a1, a2, a3, ... со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел, при­чем an+2  =  an+1 + an при всех на­ту­раль­ных n.

а)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство дробь: чис­ли­тель: a_5, зна­ме­на­тель: a_4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ?

б)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство дробь: чис­ли­тель: a_5, зна­ме­на­тель: a_4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ?

в)  При каком наи­боль­шем на­ту­раль­ном n может вы­пол­нять­ся ра­вен­ство 6na_n плюс 1= левая круг­лая скоб­ка 2n в квад­ра­те минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка a_n?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим пер­вые два члена по­сле­до­ва­тель­но­сти a и b со­от­вет­ствен­но. Тогда a_3=a плюс b, a_4=a плюс 2b, a_5=2a плюс 3b.

а)  Усло­вие рав­но­силь­но тому, что 5 левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 3b пра­вая круг­лая скоб­ка =9 левая круг­лая скоб­ка a плюс 2b пра­вая круг­лая скоб­ка , то есть a=3b. Зна­чит, для по­сле­до­ва­тель­но­сти, на­при­мер, 3, 1, 4, 5, 9 оно будет вы­пол­не­но.

б)  Усло­вие рав­но­силь­но тому, что 5 левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 3b пра­вая круг­лая скоб­ка =7 левая круг­лая скоб­ка a плюс 2b пра­вая круг­лая скоб­ка , то есть 3a плюс b=0, что не­воз­мож­но.

в)  Пусть a_n минус 1=y, a_n минус 2=x. Тогда a_n=x плюс y, a_n плюс 1=x плюс 2y. Урав­не­ние при­мет вид

6n левая круг­лая скоб­ка x плюс 2y пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 2n в квад­ра­те минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 3n левая круг­лая скоб­ка x плюс 2y пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка n в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка n в квад­ра­те минус 1 минус 3n пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс левая круг­лая скоб­ка n в квад­ра­те минус 1 минус 6n пра­вая круг­лая скоб­ка y=0.

По­сколь­ку при n боль­ше или равно 7 спра­вед­ли­вы оцен­ки

n в квад­ра­те минус 3n минус 1 боль­ше n в квад­ра­те минус 6n минус 1 боль­ше n в квад­ра­те минус 7n=n левая круг­лая скоб­ка n минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0,

при n боль­ше или равно 7 это ра­вен­ство вы­пол­нять­ся не может.

При n=6 по­лу­ча­ем 17x минус y=0, то есть a_5=17x, a_4=x. Зна­чит, a_3=a_5 минус a_4=16x и a_2=a_4 минус a_3 мень­ше 0.

При n=5 по­лу­ча­ем 9x минус 6y=0, то есть a_4= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x, a_3=x. Зна­чит, a_2=a_4 минус a_3= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x и a_1=a_3 минус a_2= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x. Вы­брав, на­при­мер, x=2, по­лу­чим по­сле­до­ва­тель­ность 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., удо­вле­тво­ря­ю­щую усло­вию при n=5.

 

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­ты.4
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.3
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов2
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щий ре­зуль­та­тов:

―  обос­но­ван­ное ре­ше­ние пунк­та а;

―  обос­но­ван­ное ре­ше­ние пунк­та б;

―  оцен­ка в пунк­те в;

―  при­мер в пунк­те в, обес­пе­чи­ва­ю­щий точ­ность най­ден­ной оцен­ки.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 326. (часть C)
Классификатор алгебры: По­сле­до­ва­тель­но­сти и про­грес­сии, Числа и их свой­ства
Методы алгебры: Пе­ре­бор слу­ча­ев
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025