а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ние ABCD пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD впи­са­но в ниж­нее ос­но­ва­ние ци­лин­дра, а вер­ши­на S рас­по­ло­же­на на оси ОО₁ ци­лин­дра (О₁  — центр верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра). Объем ци­лин­дра равен объем пи­ра­ми­ды равен 50.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между AS и CD, если диа­метр ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В сен­тяб­ре пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 18 мил­ли­о­нов руб­лей на не­ко­то­рый срок (целое число лет). Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 2,5% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по ав­густ каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в сен­тяб­ре каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на сен­тябрь преды­ду­ще­го года.

Чему равна общая сумма вы­плат (в млн руб­лей) после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та, если сумма наи­боль­шей го­до­вой вы­пла­ты и наи­мень­шей го­до­вой вы­пла­ты долга со­ста­вит 7,74 млн руб.?

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC на ги­по­те­ну­зу AB опу­ще­на вы­со­та CH. В тре­уголь­ни­ке ACH про­ве­де­на бис­сек­три­са CE угла ACH.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник BCE  — рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те EO, где O  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, и из­вест­но, что AC  =  8, BC  =  6.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

В де­ся­тич­ной за­пи­си числа a > 1 толь­ко че­ре­ду­ю­щи­е­ся еди­ни­цы и нули: a  =  1010...

а)  Может ли это число быть квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа?

б)  Какие числа та­ко­го вида будут про­сты­ми?

в)  Сколь­ко еди­ниц в за­пи­си этого числа, если оно де­лит­ся на 13?