а) Можно ли в выражении 
вместо всех знаков * расставить знаки + и − так, чтобы в результате получился нуль?
б) Можно ли в выражении 
вместо всех знаков * расставить знаки + и − так, чтобы в результате получился нуль?
в) Какое наибольшее количество попарно различных чисел можно выбрать из набора 
и расставить знаки + и − так, чтобы их сумма стала равна нулю?
В каждом из пунктов требуется разбить логарифмы на две группы так, чтобы суммы в группах оказались равны, а затем перед одной группой поставить плюсы, а перед другой минусы. Поскольку сумма логарифмов, взятых по одному основанию, это логарифм по тому же основанию от произведения их аргументов, необходимо и достаточно, чтобы произведения аргументов логарифмов оказались равны.
а) Поскольку 5 · 6 · 7 · 8 = 10 · 12 · 14 это возможно.
б) Числа 6, 7, 8, 12, 14, 24, 32 содержат 1 + 0 + 3 + 2 + 1 + 3 + 5 = 15 простых множителей 2, поэтому при любом разбиении чисел на две группы в них будет не поровну множителей 2. Значит, произведения не будут равными.
в) Ясно, что числа 11, 13, 17, 19 нужно удалить: на каждое из таких простых делится только оно само, поэтому если их оставить, то одно из произведений будет кратно какому-то из этих простых, а второе — нет. В числах 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20 содержатся следующие простые множители: 2 — 14 раз, 3 — 6 раз, 5 — 3 раза, 7 — 2 раза. Поскольку множителей 5 нечетное число, сделать равные произведения не получится. С другой стороны, если удалить число 20, то можно будет разбить на две группы с одинаковым произведением, например, так:
7 · 8 · 9 · 10 · 12 = 14 · 15 · 16 · 18.
Итак, можно удалить 5 чисел и оставить 9.
Ответ: а) да; б) нет; в) 9.