а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды АВСD яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник АВС, длина сто­ро­ны ко­то­ро­го равна 4. Бо­ко­вое ребро CD пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния и имеет длину Пусть М  — се­ре­ди­на ребра ВС, а N  — се­ре­ди­на ребра АВ.

А)  До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми DM и СN равен 45°.

Б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми DM и СN.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В че­ты­рех­уголь­ни­ке АВСD, впи­сан­ном в окруж­ность, бис­сек­три­сы углов А и В пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Е, ле­жа­щей на сто­ро­не CD. Из­вест­но, что CD : BC  =  3 : 1.

А)  До­ка­жи­те, что точка Е рав­но­уда­ле­на от пря­мых AD и АВ.

Б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков ADE и ВСЕ.

Сер­гей хочет ку­пить пакет акций быст­ро­рас­ту­щей ком­па­нии. В на­ча­ле года у Сер­гея не было денег на по­куп­ку акций, а пакет стоил 160 000 руб­лей. В се­ре­ди­не каж­до­го ме­ся­ца Сер­гей от­кла­ды­ва­ет на по­куп­ку па­ке­та акций одну и ту же сумму, а в конце ме­ся­ца пакет до­ро­жа­ет, но не более чем на 25%. Какую наи­мень­шую сумму (в руб­лях) нужно от­кла­ды­вать Сер­гею каж­дый месяц, чтобы через не­ко­то­рое время ку­пить же­ла­е­мый пакет акций?

Найти все зна­че­ния х, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство

вы­пол­ня­ет­ся хотя бы при одном зна­че­нии а, при­над­ле­жа­щем от­рез­ку [−1; 2].

Даны 15 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, за­пи­сан­ных в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

а)  Могут ли эти числа об­ра­зо­вы­вать ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, если сумма пер­во­го, тре­тье­го и седь­мо­го из них равна 125, а сумма всех чисел равна 885?

б)  Могут ли эти числа об­ра­зо­вы­вать ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, если сумма пер­во­го, тре­тье­го и седь­мо­го из них равна 90, а сумма всех чисел равна 810?

в)  Могут ли пер­вые во­семь из этих чисел об­ра­зо­вы­вать гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию с целым зна­ме­на­те­лем, если сумма этих вось­ми чисел равна 103 · 994?