а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Опре­де­ли­те, какие из его кор­ней при­над­ле­жат от­рез­ку

В па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ точка F се­ре­ди­на ребра AB, а точка E делит ребро DD₁ в от­но­ше­нии DE : ED₁  =  6 : 1. Через точки F и E про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мой AC и пе­ре­се­ка­ю­щая диа­го­наль B₁D в точке О.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит диа­го­наль DB₁ в от­но­ше­нии DO : OB₁  =  2 : 3.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью α и плос­ко­стью (ABC), если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что ABCDA₁B₁C₁D₁  — пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная приз­ма, сто­ро­на ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 4, а вы­со­та равна 7.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны A и B па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AD и BC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но и ка­са­ет­ся сто­ро­ны CD.

а)  До­ка­жи­те, что точки C, D, M и N лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка AD, зная, что BM = a, MD = b, NC = c.

Ге­ор­гий взял кре­дит в банке на сумму 804 000 руб­лей. Схема вы­пла­та кре­ди­та та­ко­ва: в конце каж­до­го года банк уве­ли­чи­ва­ет на 10 про­цен­тов остав­шу­ю­ся сумму долга, а затем Ге­ор­гий пе­ре­во­дит в банк свой оче­ред­ной пла­теж. Из­вест­но, что Ге­ор­гий по­га­сил кре­дит за три года, при­чем каж­дый его сле­ду­ю­щий пла­теж был ровно вдвое мень­ше преды­ду­ще­го. Какую сумму Ге­ор­гий за­пла­тил в тре­тий раз? Ответ дайте в руб­лях.

Най­ди­те все такие зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ре­ше­ния на от­рез­ке

Дано квад­рат­ное урав­не­ние где a, b, c  — на­ту­раль­ные числа, не пре­вос­хо­дя­щие 200. Также из­вест­но, что числа a, b и c по­пар­но от­ли­ча­ют­ся друг от друга не менее, чем на 2.

а)  Может ли такое урав­не­ние иметь ко­рень 9?

б)  Может ли такое урав­не­ние иметь ко­рень 135?

в)  Какой наи­боль­ший целый ко­рень может иметь такое урав­не­ние?