СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 505107

На окруж­но­сти не­ко­то­рым спо­со­бом рас­ста­ви­ли на­ту­раль­ные числа от 1 до 21 (каж­дое число по­став­ле­но по од­но­му разу). Затем для каж­дой пары со­сед­них чисел нашли раз­ность боль­ше­го и мень­ше­го.

а) Могли ли все по­лу­чен­ные раз­но­сти быть не мень­ше 11?

б) Могли ли все по­лу­чен­ные раз­но­сти быть не мень­ше 10?

в) По­ми­мо по­лу­чен­ных раз­но­стей, для каж­дой пары чисел, сто­я­ших через одно, нашли раз­ность боль­ше­го и мень­ше­го. Для ка­ко­го наи­боль­ше­го це­ло­го числа k можно так рас­ста­вить числа, чтобы все раз­но­сти были не мень­ше k?

Ре­ше­ние.

а) При любой рас­ста­нов­ке раз­ность числа 11 и лю­бо­го со­сед­не­го с ним числа мень­ше 11. Зна­чит, все­гда най­дут­ся хотя бы две раз­но­сти мень­ше 11.

б) На­при­мер, для рас­ста­нов­ки 1, 12, 2, 13, 3, 14, 4, 15, 5, 16, 6, 17, 7, 18, 8, 19, 9, 20, 10, 21, 11 все раз­но­сти не мень­ше 10.

в) Оце­ним зна­че­ние k. Рас­смот­рим числа от 1 до 7. Если какие-то два из них стоят рядом или через одно, то най­дет­ся раз­ность мень­ше 7. Иначе они стоят через два, по­сколь­ку всего чисел 21. В этом слу­чае число 8 стоит рядом или через одно с каким-то чис­лом от 2 до 7 и най­дет­ся раз­ность мень­ше 7.

Таким об­ра­зом, все­гда най­дет­ся раз­ность мень­ше 7. Все раз­но­сти могут быть не мень­ше 6. На­при­мер, для рас­ста­нов­ки 1, 8, 15, 2, 9, 16, 3, 10, 17, 4, 11, 18, 5, 12, 19, 6, 13, 20, 7, 14, 21 все раз­но­сти не мень­ше 6.

 

Ответ: а) нет; б) да; в) 6.

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2014
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства, Числа и их свойства