Дан набор цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7, 9. Из него вы­би­ра­ют три раз­лич­ные цифры и со­став­ля­ют трёхзнач­ное число A. Из остав­ших­ся четырёх цифр со­став­ля­ют че­ты­рех­знач­ное число B. Из­вест­но, что число A крат­но 45 и число B крат­но 45.

а)  Может ли сумма чисел A + B быть равна 2205?

б)  Может ли сумма чисел A + B быть равна 3435?

в)  Чему равна наи­боль­шая воз­мож­ная сумма чисел A + B?

Из на­бо­ра цифр 1, 2, 3, 4, 6, 7 и 8 со­став­ля­ют пару чисел, ис­поль­зуя каж­дую цифру ровно один раз. Ока­за­лось, что одно из этих чисел пя­ти­знач­ное, дру­гое  — дву­знач­ное и крат­но 36.

а)  Может ли сумма такой пары чисел рав­нять­ся 14 908?

б)  Может ли сумма такой пары чисел рав­нять­ся 74 134?

в)  Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма чисел в этой паре?

Из на­бо­ра цифр 1, 2, 3, 4, 6, 7 и 9 со­став­ля­ют пару чисел, ис­поль­зуя каж­дую цифру один раз.

а)  Может ли сумма такой пары чисел рав­нять­ся 15 008?

б)  Может ли сумма такой пары чисел рав­нять­ся 94 358?

в)  Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма чисел в такой паре?

В про­дук­то­вом ма­га­зи­не есть весы с двумя ча­ша­ми. На одну чашу весов кла­дут толь­ко про­дук­ты, на дру­гую  — гири. На чашу для гирь можно по­ло­жить не­сколь­ко гирь. Ма­га­зи­ну раз­ре­ше­но про­да­вать толь­ко целое число ки­ло­грам­мов про­дук­тов.

а)  Можно ли не­ко­то­рым на­бо­ром из пяти гирь от­ве­сить любое целое число ки­ло­грам­мов от 1 до 25?

б)  Можно ли не­ко­то­рым на­бо­ром из че­ты­рех гирь от­ве­сить любое целое число ки­ло­грам­мов от 1 до 25?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние n такое, что любой вес от 1 до n ки­ло­грам­мов можно от­ве­сить каким-ни­будь на­бо­ром из 5 гирь.

Целое число S яв­ля­ет­ся сум­мой не мень­ше семи по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов не­по­сто­ян­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, со­сто­я­щей из целых чисел.

a)  Может ли S рав­нять­ся 8?

б)  Может ли S рав­нять­ся 3?

в)  Най­ди­те все зна­че­ния, ко­то­рые может при­ни­мать S.

На столе лежат 4 камня по 5 кг и 13 кам­ней по 14 кг. Их раз­де­ли­ли на две кучки.

а)  Может ли раз­ность масс двух этих кучек кам­ней быть равна 6 кг?

б)  Могут ли массы двух этих кучек быть равны?

в)  Какая наи­мень­шая по­ло­жи­тель­ная раз­ность масс может быть у двух этих кучек кам­ней?

На столе лежат 4 камня по 7 кг и 9 кам­ней по 22 кг. Их раз­де­ли­ли на две кучки.

а)  Может ли раз­ность масс двух этих кучек кам­ней быть равна 8 кг?

б)  Могут ли массы двух этих кучек быть равны?

в)  Какая наи­мень­шая по­ло­жи­тель­ная раз­ность масс может быть у двух этих кучек кам­ней?

Есть 4 камня по 3 кг и 11 кам­ней по 20 кг.

а)  Можно ли раз­ло­жить камни на 2 груп­пы так, чтобы раз­ность сумм масс групп была равна 14 кг?

б)  Можно ли раз­ло­жить камни в 2 груп­пы так, чтобы сумма масс кам­ней обеих групп была оди­на­ко­вой?

в)  Какую ми­ни­маль­ную массу раз­но­сти сум­мар­ных масс кам­ней можно до­стичь при раз­ло­же­нии кам­ней в 2 груп­пы?

В порту име­ют­ся толь­ко за­пол­нен­ные кон­тей­не­ры, масса каж­до­го из ко­то­рых равна 20 тонн или 40 тонн. В не­ко­то­рых кон­тей­не­рах на­хо­дит­ся са­хар­ный песок. Ко­ли­че­ство кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком со­став­ля­ет 40% от об­ще­го числа кон­тей­не­ров.

а)  Может ли масса кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком со­став­лять 50% от общей массы?

б)  Может ли масса кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком со­став­лять 60% от общей массы?

в)  Какую наи­мень­шую долю в про­цен­тах может со­став­лять масса кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком от общей массы?

В порту име­ют­ся толь­ко за­пол­нен­ные кон­тей­не­ры, масса каж­до­го из ко­то­рых равна 20 тонн или 40 тонн. В не­ко­то­рых кон­тей­не­рах на­хо­дит­ся са­хар­ный песок. Ко­ли­че­ство кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком со­став­ля­ет 60% от об­ще­го числа кон­тей­не­ров.

а)  Может ли масса кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком со­став­лять 50% от общей массы?

б)  Может ли масса кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком со­став­лять 40% от общей массы?

в)  Какую наи­боль­шую долю в про­цен­тах может со­став­лять масса кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком от общей массы?

Есть 16 мо­не­ток по 2 рубля и 29 мо­не­ток по 5 руб­лей.

а)  Можно ли взять не­сколь­ко из них так, чтобы сумма взя­тых монет была равна 175?

б)  Можно ли взять не­сколь­ко из них так, чтобы сумма взя­тых монет была равна 176?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство мо­не­ток по 1 рублю нужно до­ба­вить в набор, чтобы можно было по­лу­чить любую целую сумму от 1 до 180 вклю­чи­тель­но.

Есть 24 монет по 2 рубля и 30 мо­не­ток по 5 руб­лей.

а)  Можно ли взять не­сколь­ко из них так, чтобы сумма взя­тых монет была равна 196?

б)  Можно ли взять не­сколь­ко из них так, чтобы сумма взя­тых монет была равна 197?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство мо­не­ток по 1 рублю нужно до­ба­вить в набор, чтобы можно было по­лу­чить любую целую сумму от 1 до 200 вклю­чи­тель­но.

В порту име­ют­ся толь­ко за­пол­нен­ные кон­тей­не­ры, масса каж­до­го из ко­то­рых равна 20 тонн или 60 тонн. В не­ко­то­рых кон­тей­не­рах на­хо­дит­ся са­хар­ный песок. Ко­ли­че­ство кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком со­став­ля­ет 75% от об­ще­го числа кон­тей­не­ров.

а)   Может ли масса кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком со­став­лять 80% от общей массы?

б)   Может ли масса кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком со­став­лять 40% от общей массы?

в)  Какую наи­боль­шую долю в про­цен­тах может со­став­лять масса кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком от общей массы?

Над парой целых чисел (a; b) про­во­дит­ся опе­ра­ция, после ко­то­рой по­лу­ча­ет­ся пара

а)  Воз­мож­но ли из какой-то пары по­лу­чить пару (5; 5)?

б)  Верно ли, что если пара (c; d) может быть по­лу­че­на из какой-то пары с по­мо­щью дан­ной опе­ра­ции, то и пара (−d; c) тоже может быть по­лу­че­на из какой-то пары с по­мо­щью дан­ной опе­ра­ции?

в)  За­да­дим рас­сто­я­ние между па­ра­ми целых чисел (a; b) и (c; d) вы­ра­же­ни­ем Най­ди­те наи­мень­шее рас­сто­я­ние от пары (9; 2) до пары, по­лу­чен­ной из какой-то пары с по­мо­щью дан­ной опе­ра­ции.

В порту име­ют­ся толь­ко за­пол­нен­ные кон­тей­не­ры, масса каж­до­го из ко­то­рых равна 20 тонн или 60 тонн. В не­ко­то­рых из этих кон­тей­не­ров на­хо­дит­ся са­хар­ный песок. Ко­ли­че­ство кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком со­став­ля­ет 25% от об­ще­го ко­ли­че­ства кон­тей­не­ров.

а)  Может ли масса кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком со­ста­вить 20% от общей массы всех кон­тей­не­ров?

б)  Может ли масса кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком со­ста­вить 60% от общей массы всех кон­тей­не­ров?

в)  Какую наи­мень­шую долю (в про­цен­тах) может со­ста­вить масса кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком от общей массы всех кон­тей­не­ров?

В порту име­ют­ся толь­ко за­пол­нен­ные кон­тей­не­ры, масса каж­до­го из ко­то­рых равна 40 тонн или 60 тонн. В не­ко­то­рых кон­тей­не­рах на­хо­дит­ся са­хар­ный песок. Ко­ли­че­ство кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком со­став­ля­ет 40% от об­ще­го числа кон­тей­не­ров.

а)  Может ли масса кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком со­став­лять 36% от общей массы?

б)  Может ли масса кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком со­став­лять 60% от общей массы?

в)  Какую наи­боль­шую долю в про­цен­тах может со­став­лять масса кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком от общей массы?

На доске на­пи­са­ли не­сколь­ко не обя­за­тель­но раз­лич­ных дву­знач­ных на­ту­раль­ных чисел без нулей в де­ся­тич­ной за­пи­си. Сумма этих чисел ока­за­лась рав­ной 2376. Затем в каж­дом числе по­ме­ня­ли ме­ста­ми первую и вто­рую цифры (на­при­мер, число 16 за­ме­ни­ли на число 61).

а)  При­ве­ди­те при­мер ис­ход­ных чисел, для ко­то­рых сумма по­лу­чив­ших­ся чисел ровно в три раза мень­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел.

б)  Могла ли сумма по­лу­чив­ших­ся чисел быть ровно в шесть раз мень­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние суммы по­лу­чив­ших­ся чисел.

На доске на­пи­са­ли не­сколь­ко не обя­за­тель­но раз­лич­ных дву­знач­ных на­ту­раль­ных чисел без нулей в де­ся­тич­ной за­пи­си. Сумма этих чисел ока­за­лась рав­ной 1782. Затем в каж­дом числе по­ме­ня­ли ме­ста­ми первую и вто­рую цифры (на­при­мер, число 17 за­ме­ни­ли на число 71).

а)  При­ве­ди­те при­мер ис­ход­ных чисел, для ко­то­рых сумма по­лу­чив­ших­ся чисел ровно в 3 раза боль­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел.

б)  Могла ли сумма по­лу­чив­ших­ся чисел быть ровно в 5,5 раз боль­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние суммы по­лу­чив­ших­ся чисел.

На доске на­пи­са­ли не­сколь­ко не обя­за­тель­но раз­лич­ных дву­знач­ных на­ту­раль­ных чисел без нулей в де­ся­тич­ной за­пи­си. Сумма этих чисел ока­за­лась рав­ной 330. В каж­дом числе по­ме­ня­ли ме­ста­ми первую и вто­рую цифры (на­при­мер, число 17 за­ме­ни­ли на число 71).

а)  При­ве­ди­те при­мер ис­ход­ных чисел, для ко­то­рых сумма по­лу­чив­ших­ся чисел ровно в че­ты­ре раза боль­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел.

б)  Могла ли сумма по­лу­чив­ших­ся чисел быть ровно в три раза боль­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние суммы по­лу­чив­ших­ся чисел.

На доске на­пи­са­ли не­сколь­ко не обя­за­тель­но раз­лич­ных дву­знач­ных на­ту­раль­ных чисел без нулей в де­ся­тич­ной за­пи­си. Сумма этих чисел ока­за­лась рав­ной 2376. Затем в каж­дом числе по­ме­ня­ли ме­ста­ми первую и вто­рую цифры (на­при­мер, число 17 за­ме­ни­ли на число 71).

а)  При­ве­ди­те при­мер ис­ход­ных чисел, для ко­то­рых сумма по­лу­чив­ших­ся чисел ровно в 3 раза боль­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел.

б)  Могла ли сумма по­лу­чив­ших­ся чисел быть ровно в 6 раз боль­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние суммы по­лу­чив­ших­ся чисел.