С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают модуль разности этих цифр (например, из числа 2673 получается число 2 461 743).
а) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 1 234 774 321?
б) Может ли из трехзначного числа получиться число, делящееся на 11?
в) Сколько всего существует трехзначных чисел, в десятичной записи которых отсутствуют нули, а число десятков не менее числа сотен и единиц, таких, что после выполнения указанной выше операции получится число, делящееся
а) Модуль разности цифр не больше 9, поэтому записывается одной цифрой. Значит, цифры нового числа поочередно являются цифрами старого числа и результатами вычитаний, причем первая и последняя цифры суть цифры старого числа. Следовательно, новое число записывается нечетным числом числом цифр. Но число 1 234 774 321 записано десятью цифрами, поэтому не может быть получено в результате такой операции.
б) Да, из числа 454 получается 
в) Пусть цифры исходного числа равны x, y, z, причем 
Тогда новое число имеет цифры x, y – x, y, y – z, z. По признаку делимости на 11 числа 
и 
должны отличаться на число, кратное 11, то есть число
должно быть кратно 11. От перемены мест x и z делимость 
При этом 
и
поэтому возможны следующие случаи.
1 случай: 
Ясно, что 
и 
Это дает варианты 141, 261, 381, 282 — итого 6 чисел, поскольку в 261 и 381 можно поменять местами крайние цифры.
2 случай: 
Тогда получаем, что 
откуда 
Это дает варианты 454, 553, 574, 595, 673, 694, 772, 793, 892, 991 — итого 18 чисел (во всех, кроме 454 и 595, можно поменять местами крайние цифры).
3 случай: 
Теперь 
откуда 
Это дает вариант 887 — еще 2 числа.
Итого искомых чисел 
Ответ: а) нет; б) да; в) 26.